Mostre que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos uma soma infinita com termos que são frações envolvendo números ímpares consecutivos: . O objetivo é mostrar que essa soma é igual a . Para resolver isso, vamos usar o conceito de frações parciais e a ideia de séries telescópicas.

Passo 2

Vamos começar decompondo cada termo da soma usando frações parciais. Tomemos um termo genérico da série: , onde é um número ímpar. Queremos expressar isso como a diferença de duas frações simples.
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores de para encontrar e .
Se :
Se :
Então, temos:

Passo 3

Aplicando essa decomposição a cada termo da série original:

Passo 4

Agora, somamos os termos:
Observamos que muitos termos se cancelam:
Tudo que sobra é:

Resposta

A soma infinita é igual a .

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