Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos uma soma infinita com termos que são frações envolvendo números ímpares consecutivos:
. O objetivo é mostrar que essa soma é igual a
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de frações parciais e a ideia de séries telescópicas.
Passo 2
Vamos começar decompondo cada termo da soma usando frações parciais. Tomemos um termo genérico da série:
, onde
é um número ímpar. Queremos expressar isso como a diferença de duas frações simples.
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores de
para encontrar
e
.
Se
:
Se
:
Então, temos:
Passo 3
Aplicando essa decomposição a cada termo da série original:
Passo 4
Agora, somamos os termos:
Observamos que muitos termos se cancelam:
Tudo que sobra é:
Resposta
A soma infinita
é igual a
.
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Defina bola aberta de centro
e raio
no
. Interprete geometricamente.
Mostre que
Seja
e
.
Encontre a taxa de variação de na direção de um vetor que forma um ângulo de
.
Encontre a taxa de variação de
Mostre que