Prove que a função é descontínua no número
. Então determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a continuidade for removível, redefina
de modo que seja removida
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes:
O exercício pede para a gente provar que essa função é descontínua em
, descobrir se essa descontinuidade é removível ou essencial e, se for removível, redefinir
para tornar a função contínua nesse ponto. Vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em
. Para que a função seja contínua nesse ponto, o limite quando
se aproxima de 3 deve ser igual ao valor da função em
.
Então, precisamos calcular:
Passo 3
Vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de 3. Como a função é definida por
para
, temos:
Sabemos que
representa a distância de
até 3, então conforme
se aproxima de 3, essa distância tende a 0. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos comparar esse limite com o valor da função em
. Segundo a definição da função:
Então, temos que:
Claro que 0 não é igual a 2, então a função não é contínua em
. Isso significa que existe uma descontinuidade nesse ponto.
Passo 5
Agora, vamos determinar o tipo de descontinuidade. Existem dois tipos principais:
- Descontinuidade removível: quando o limite existe, mas é diferente do valor da função no ponto.
- Descontinuidade essencial: quando o limite não existe ou é infinito.
No nosso caso, o limite existe e é igual a 0, mas o valor de
é 2. Portanto, a descontinuidade é removível.
Passo 6
Como a descontinuidade é removível, podemos redefinir o valor da função em
para que a função se torne contínua nesse ponto. Para isso, fazemos com que:
Assim, a função redefinida fica:
Resposta
A função
é descontínua em
. A descontinuidade é removível, e redefinindo
, a função se torna contínua nesse ponto.