Prove que a função é descontínua no número a. Então determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a continuidade for removível, redefina f(a) de modo que seja removida
(a) f(x) = { |x - 3|, se x ≠ 3; 2, se x = 3 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes:
O exercício pede para a gente provar que essa função é descontínua em , descobrir se essa descontinuidade é removível ou essencial e, se for removível, redefinir f(3) para tornar a função contínua nesse ponto. Vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em . Para que a função seja contínua nesse ponto, o limite quando x se aproxima de 3 deve ser igual ao valor da função em .
Então, precisamos calcular:

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando x se aproxima de 3. Como a função é definida por para , temos:
Sabemos que representa a distância de x até 3, então conforme x se aproxima de 3, essa distância tende a 0. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos comparar esse limite com o valor da função em . Segundo a definição da função:
Então, temos que:
Claro que 0 não é igual a 2, então a função não é contínua em . Isso significa que existe uma descontinuidade nesse ponto.

Passo 5

Agora, vamos determinar o tipo de descontinuidade. Existem dois tipos principais:
  1. Descontinuidade removível: quando o limite existe, mas é diferente do valor da função no ponto.
  2. Descontinuidade essencial: quando o limite não existe ou é infinito.
No nosso caso, o limite existe e é igual a 0, mas o valor de f(3) é 2. Portanto, a descontinuidade é removível.

Passo 6

Como a descontinuidade é removível, podemos redefinir o valor da função em para que a função se torne contínua nesse ponto. Para isso, fazemos com que:
Assim, a função redefinida fica:

Resposta

A função f(x) é descontínua em . A descontinuidade é removível, e redefinindo , a função se torna contínua nesse ponto.

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