Determine os números nos quais a função dada é contínua
© f(x) = { 1/(x-2) se x <= 1, 1/x se 1 < x }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir em quais números a função dada é contínua. A matéria aqui é continuidade de funções, e para resolver isso, vamos precisar verificar onde cada parte da função está bem comportada e também ver o que acontece no ponto onde a definição muda, que no caso é em .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função para :
A gente sabe que uma função racional como essa é contínua em todo lugar onde o denominador não é zero. Então, vamos ver quando :
Mas, como estamos considerando , o valor não está nesse intervalo. Isso significa que para , a função é contínua em todo o domínio considerado.

Passo 3

Agora, vamos olhar a outra parte da função para :
Da mesma forma, essa função é contínua onde o denominador não é zero. Então, precisamos que:
Como estamos considerando , o valor não está nesse intervalo. Portanto, para , a função também é contínua em todo o domínio considerado.

Passo 4

O próximo passo é verificar o que acontece no ponto onde a função muda de definição, ou seja, em . Para a função ser contínua nesse ponto, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais ao valor da função em .
Primeiro, vamos calcular :
Agora, o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
E o limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ):

Passo 5

Comparando os limites e o valor da função:
Vemos que o limite pela esquerda é diferente do limite pela direita, ou seja, . Isso significa que existe uma descontinuidade em .

Resposta

A função é contínua para todos os números reais, exceto em .

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