Determine os números nos quais a função dada é contínua
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir em quais números a função dada é contínua. A matéria aqui é continuidade de funções, e para resolver isso, vamos precisar verificar onde cada parte da função está bem comportada e também ver o que acontece no ponto onde a definição muda, que no caso é em
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função para
:
A gente sabe que uma função racional como essa é contínua em todo lugar onde o denominador não é zero. Então, vamos ver quando
:
Mas, como estamos considerando
, o valor
não está nesse intervalo. Isso significa que para
, a função
é contínua em todo o domínio considerado.
Passo 3
Agora, vamos olhar a outra parte da função para
:
Da mesma forma, essa função é contínua onde o denominador não é zero. Então, precisamos que:
Como estamos considerando
, o valor
não está nesse intervalo. Portanto, para
, a função
também é contínua em todo o domínio considerado.
Passo 4
O próximo passo é verificar o que acontece no ponto onde a função muda de definição, ou seja, em
. Para a função ser contínua nesse ponto, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais ao valor da função em
.
Primeiro, vamos calcular
:
Agora, o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
):
E o limite quando
se aproxima de 1 pela direita (
):
Passo 5
Comparando os limites e o valor da função:
Vemos que o limite pela esquerda é diferente do limite pela direita, ou seja,
. Isso significa que existe uma descontinuidade em
.
Resposta
A função
é contínua para todos os números reais, exceto em
.