Defina Classe de Equivalência e Classe Residual.
Passo 1
Vamos definir o que são Classe de Equivalência e Classe Residual. Para isso, vamos precisar entender primeiro o conceito de relação de equivalência e como ela organiza os elementos em grupos. Além disso, vamos explorar como as classes residuais se relacionam com a divisão de números inteiros.
Passo 2
Primeiro, uma Relação de Equivalência é uma forma de comparar elementos que satisfaz três propriedades importantes:
- Reflexiva: Todo elemento está relacionado a si mesmo. Por exemplo, para qualquer número
, . - Simétrica: Se um elemento
está relacionado a , então está relacionado a . Ou seja, se , então . - Transitiva: Se
está relacionado a e está relacionado a , então está relacionado a . Em termos, se e , então .
Essas propriedades garantem que os elementos possam ser agrupados de maneira organizada.
Passo 3
Com base em uma relação de equivalência, podemos definir uma Classe de Equivalência. Uma classe de equivalência é um conjunto de elementos que são todos equivalentes entre si segundo essa relação. Por exemplo, se considerarmos a relação de igualdade, cada classe de equivalência seria um conjunto contendo apenas um único elemento.
Matematicamente, se
é uma relação de equivalência em um conjunto
, então a classe de equivalência de um elemento
é
.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre a Classe Residual. Esse conceito está ligado à aritmética modular, que lida com restos de divisões. Dado um número inteiro
, a classe residual de
módulo
é o conjunto de todos os números que deixam o mesmo resto que
quando divididos por
.
Por exemplo, na aritmética módulo 5, a classe residual de 2 é
, porque todos esses números deixam resto 2 quando divididos por 5.
Matematicamente, a classe residual de
módulo
é
, onde
representa o conjunto dos números inteiros.
Resposta
Uma Classe de Equivalência é um conjunto de elementos que são considerados equivalentes entre si segundo uma relação de equivalência específica, agrupando-os de forma organizada. Já uma Classe Residual é um conjunto de números que deixam o mesmo resto quando divididos por um número fixo
, sendo utilizada na aritmética modular para categorizar os números conforme seus resíduos.
Exercícios relacionados
Mostre que para todo
é válido que:
a)
a)
Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
f) , onde
f)
Mostre que
, com m par e maior que 2 , não é um grupo.
Seja uma relação de equivalência em um conjunto A e sejam
. Prove que:
b)
b)