Defina Classe de Equivalência e Classe Residual.

Passo 1

Vamos definir o que são Classe de Equivalência e Classe Residual. Para isso, vamos precisar entender primeiro o conceito de relação de equivalência e como ela organiza os elementos em grupos. Além disso, vamos explorar como as classes residuais se relacionam com a divisão de números inteiros.

Passo 2

Primeiro, uma Relação de Equivalência é uma forma de comparar elementos que satisfaz três propriedades importantes:
  1. Reflexiva: Todo elemento está relacionado a si mesmo. Por exemplo, para qualquer número , .
  2. Simétrica: Se um elemento está relacionado a , então está relacionado a . Ou seja, se , então .
  3. Transitiva: Se está relacionado a e está relacionado a , então está relacionado a . Em termos, se e , então .
Essas propriedades garantem que os elementos possam ser agrupados de maneira organizada.

Passo 3

Com base em uma relação de equivalência, podemos definir uma Classe de Equivalência. Uma classe de equivalência é um conjunto de elementos que são todos equivalentes entre si segundo essa relação. Por exemplo, se considerarmos a relação de igualdade, cada classe de equivalência seria um conjunto contendo apenas um único elemento.
Matematicamente, se é uma relação de equivalência em um conjunto , então a classe de equivalência de um elemento é .

Passo 4

Agora, vamos falar sobre a Classe Residual. Esse conceito está ligado à aritmética modular, que lida com restos de divisões. Dado um número inteiro , a classe residual de módulo é o conjunto de todos os números que deixam o mesmo resto que quando divididos por .
Por exemplo, na aritmética módulo 5, a classe residual de 2 é , porque todos esses números deixam resto 2 quando divididos por 5.
Matematicamente, a classe residual de módulo é , onde representa o conjunto dos números inteiros.

Resposta

Uma Classe de Equivalência é um conjunto de elementos que são considerados equivalentes entre si segundo uma relação de equivalência específica, agrupando-os de forma organizada. Já uma Classe Residual é um conjunto de números que deixam o mesmo resto quando divididos por um número fixo , sendo utilizada na aritmética modular para categorizar os números conforme seus resíduos.

Exercícios relacionados

Mostre que para todo a in(G, *) é válido que:
a) a^m * a^n=a^m+n
Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
f) (G, *), onde
G=R backslash1 e (^*) é a operação: a * b=a+b-a cdot b éçã
Mostre que (Zm,), com m par e maior que 2 , não é um grupo.
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b) barx neq bary Rightarrow barx cap bary=varnothing