Mostre que (Zm,), com m par e maior que 2 , não é um grupo.

Passo 1

Então, a questão pede para mostrar que o conjunto , onde é par e maior que 2, não forma um grupo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de grupo na matemática, que é um conjunto com uma operação que satisfaz quatro regras básicas: fechamento, associatividade, elemento identidade e presença de inversos. Vamos verificar essas propriedades para com par e maior que 2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é . Ele representa o conjunto dos inteiros de 0 até , com a operação de adição ou multiplicação módulo . Aqui, vamos considerar a multiplicação.

Passo 3

Para que seja um grupo sob multiplicação, todas as quatro propriedades precisam ser atendidas. Vamos verificar cada uma:
  1. Fechamento: Se a multiplicação de dois elementos de resulta em outro elemento de , então o fechamento está ok. Isso geralmente é verdadeiro.
  2. Associatividade: A multiplicação é sempre associativa, então essa propriedade também é atendida.
  3. Elemento identidade: O elemento identidade para multiplicação é 1, pois multiplicar qualquer número por 1 não muda o número. Em , 1 está presente, então isso está ok.
  4. Inversos: Cada elemento em deve ter um inverso multiplicativo tal que .

Passo 4

Vamos focar nos inversos. Para que todo elemento tenha um inverso multiplicativo, deve ser um número primo. Mas aqui, é par e maior que 2, então é composto. Isso significa que existem elementos em que não têm inverso multiplicativo porque compartilham um divisor comum com .

Passo 5

Por exemplo, se , então 2 em não tem um inverso multiplicativo, já que , que não é igual a 1. Portanto, nem todos os elementos têm inversos.

Resposta

Assim, como nem todos os elementos de têm inversos multiplicativos quando é par e maior que 2, não forma um grupo sob a operação de multiplicação.

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