Mostre que
, com m par e maior que 2 , não é um grupo.
Passo 1
Então, a questão pede para mostrar que o conjunto
, onde
é par e maior que 2, não forma um grupo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de grupo na matemática, que é um conjunto com uma operação que satisfaz quatro regras básicas: fechamento, associatividade, elemento identidade e presença de inversos. Vamos verificar essas propriedades para
com
par e maior que 2.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é
. Ele representa o conjunto dos inteiros de 0 até
, com a operação de adição ou multiplicação módulo
. Aqui, vamos considerar a multiplicação.
Passo 3
Para que
seja um grupo sob multiplicação, todas as quatro propriedades precisam ser atendidas. Vamos verificar cada uma:
-
Fechamento: Se a multiplicação de dois elementos de
resulta em outro elemento de , então o fechamento está ok. Isso geralmente é verdadeiro. -
Associatividade: A multiplicação é sempre associativa, então essa propriedade também é atendida.
-
Elemento identidade: O elemento identidade para multiplicação é 1, pois multiplicar qualquer número por 1 não muda o número. Em
, 1 está presente, então isso está ok. -
Inversos: Cada elemento
em deve ter um inverso multiplicativo tal que .
Passo 4
Vamos focar nos inversos. Para que todo elemento tenha um inverso multiplicativo,
deve ser um número primo. Mas aqui,
é par e maior que 2, então
é composto. Isso significa que existem elementos em
que não têm inverso multiplicativo porque compartilham um divisor comum com
.
Passo 5
Por exemplo, se
, então 2 em
não tem um inverso multiplicativo, já que
, que não é igual a 1. Portanto, nem todos os elementos têm inversos.
Resposta
Assim, como nem todos os elementos de
têm inversos multiplicativos quando
é par e maior que 2,
não forma um grupo sob a operação de multiplicação.
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Defina Classe de Equivalência e Classe Residual.
Mostre que para todo
é válido que:
a)
a)
Seja uma relação de equivalência em um conjunto A e sejam
. Prove que:
b)
b)
Prove que a multiplicação é uma operação em
, se e somente se,
é primo.