Seja uma relação de equivalência em um conjunto A e sejam
. Prove que:
b)
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma relação de equivalência em um conjunto
e dois elementos
. Precisamos provar que se as classes de equivalência de
e
são diferentes, ou seja,
, então a interseção dessas classes é vazia, isto é,
.
Aqui, estamos trabalhando com relações de equivalência, que dividem o conjunto em classes onde todos os elementos relacionados são equivalentes entre si. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das relações de equivalência.
Passo 2
Vamos começar lembrando que uma classe de equivalência
de um elemento
em
é o conjunto de todos os elementos em
que são equivalentes a
. Ou seja,
e de forma similar,
Passo 3
Agora, suponha que
. Queremos mostrar que não há nenhum elemento que pertença a ambas as classes. Ou seja, se assumirmos que existe algum elemento
que está tanto em
quanto em
, chegaremos a uma contradição.
Passo 4
Se
e
, isso significa que:
Como a relação é de equivalência, ela é reflexiva, simétrica e transitiva. Usaremos a propriedade transitiva aqui.
Passo 5
Pela transitividade, se
e
, então podemos concluir que
. Ou seja,
e
são equivalentes.
Passo 6
Se
, então pelas propriedades das relações de equivalência, as classes
e
devem ser iguais. Isso contradiz a hipótese inicial de que
.
Passo 7
Portanto, nossa suposição de que existe um elemento
pertencente a ambas as classes leva a uma contradição. Assim, não pode haver nenhum elemento comum entre
e
.
Resposta
Logo, se
, então
.
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, com m par e maior que 2 , não é um grupo.
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