Seja uma relação de equivalência em um conjunto A e sejam x, y in A. Prove que:
b) barx neq bary Rightarrow barx cap bary=varnothing

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma relação de equivalência em um conjunto e dois elementos . Precisamos provar que se as classes de equivalência de e são diferentes, ou seja, , então a interseção dessas classes é vazia, isto é, .
Aqui, estamos trabalhando com relações de equivalência, que dividem o conjunto em classes onde todos os elementos relacionados são equivalentes entre si. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das relações de equivalência.

Passo 2

Vamos começar lembrando que uma classe de equivalência barx = a in A mid a sim x de um elemento bary = a in A mid a sim y em é o conjunto de todos os elementos em que são equivalentes a . Ou seja,
e de forma similar,

Passo 3

Agora, suponha que . Queremos mostrar que não há nenhum elemento que pertença a ambas as classes. Ou seja, se assumirmos que existe algum elemento que está tanto em quanto em , chegaremos a uma contradição.

Passo 4

Se z sim x e z sim y e , isso significa que:
Como a relação é de equivalência, ela é reflexiva, simétrica e transitiva. Usaremos a propriedade transitiva aqui.

Passo 5

Pela transitividade, se e , então podemos concluir que . Ou seja, e são equivalentes.

Passo 6

Se , então pelas propriedades das relações de equivalência, as classes e devem ser iguais. Isso contradiz a hipótese inicial de que .

Passo 7

Portanto, nossa suposição de que existe um elemento pertencente a ambas as classes leva a uma contradição. Assim, não pode haver nenhum elemento comum entre e .

Resposta

Logo, se , então .

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