Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
f) (G, *), onde
G=R backslash1 e (^*) é a operação: a * b=a+b-a cdot b éçã

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado está pedindo para verificar se o conjunto com a operação definida por forma um grupo. Isso está dentro da matéria de Teoria de Grupos, uma parte da álgebra abstrata. Para resolver, precisamos verificar se todas as propriedades que definem um grupo estão presentes nesse conjunto e operação: fechamento, associatividade, elemento identidade e existência de inversos.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir o fechamento. Isso significa que, ao aplicar a operação a + b - a cdot b neq 1 em dois elementos quaisquer de 2 + 2 - 2 cdot 2 = 4 - 4 = 0 neq 1 , o resultado também deve pertencer a .
Pegando , ou seja, e , .
Calculamos .
Precisamos garantir que :
Porém, sem restrições adicionais, podemos escolher valores que façam . Por exemplo, se e , que não está em , mas ajustando valores, podemos escolher e :
Isso sugere que nem sempre , mas para garantir o fechamento, precisamos que para qualquer , .
De fato, quando calculamos , a única restrição é que . Para , isso geralmente se mantém, então o fechamento está satisfeito.

Passo 3

Agora, vamos verificar a associatividade. Isso significa que para quaisquer (a * b) * c = a * (b * c) , devemos ter:
a * b = a + b - a cdot b
Vamos calcular os dois lados:
Primeiro, (a * b) * c = (a + b - a cdot b) + c - (a + b - a cdot b) cdot c :
= a + b + c - a cdot b - (a cdot c + b cdot c - a cdot b cdot c)
= a + b + c - a cdot b - a cdot c - b cdot c + a cdot b cdot c
b * c = b + c - b cdot c
a * (b * c) = a + (b + c - b cdot c) - a cdot (b + c - b cdot c)
Agora, = a + b + c - b cdot c - a cdot b - a cdot c + a cdot b cdot c :
(a * b) * c = a + b + c - a cdot b - a cdot c - b cdot c + a cdot b cdot c
a * (b * c) = a + b + c - b cdot c - a cdot b - a cdot c + a cdot b cdot c
Comparando os dois resultados, vemos que:
Ambos são iguais, então a operação é associativa.

Passo 4

Vamos encontrar o elemento identidade. Esse é o elemento a * e = a + e - a cdot e = a tal que, para todo Rightarrow a + e - a cdot e = a , Rightarrow e - a cdot e = 0 .
Vamos resolver:
Rightarrow e(1 - a) = 0
e = 0
a * 0 = a + 0 - a cdot 0 = a
0 * a = 0 + a - 0 cdot a = a
Como (porque ), podemos dividir ambos os lados por :
Então, o elemento identidade é . Vamos verificar:
Confirma que é realmente o elemento identidade.

Passo 5

Por último, vamos verificar a existência de inversos. Para cada a * b = a + b - a cdot b = 0 , deve existir um Rightarrow a + b - a cdot b = 0 tal que Rightarrow b(1 - a) = -a , onde Rightarrow b = -a1 - a .
Vamos resolver para -a1 - a neq 1 :
-a neq 1 - a
-a - (-a) neq 1
0 neq 1
Então, o inverso de é .
Precisamos garantir que , ou seja, :
Isso é sempre verdadeiro, então o inverso pertence a .

Resposta

Sim, é um grupo, pois satisfaz todas as propriedades necessárias: fechamento, associatividade, elemento identidade e existência de inversos.

Exercícios relacionados

Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
b) (M, *), onde
M=(ll a & b 0 & 0 ) ; a, b in R e a, b neq 0 e (*) é a operação usual de muéçãçã
Questão. A função trabalho do potássio é 2,2 eV.
a) Calcule o valor limite das frequências e o comprimento de onda correspondente para esse metal.
b) A luz violeta, de comprimento de onda 4000 AA, causará o efeito fotoelétrico em níquel (função trabalho = 5,0 eV )?
Mostre que para todo a in(G, *) é válido que:
a) a^m * a^n=a^m+n
Defina Classe de Equivalência e Classe Residual.