Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um grupo e um elemento pertencente a esse grupo. A tarefa é mostrar que, para quaisquer inteiros e , a multiplicação de por resulta em . Isso está relacionado ao estudo de Teoria dos Grupos, especificamente às propriedades dos elementos dentro de um grupo.
Passo 2
Antes de mais nada, precisamos entender o que significa em um grupo. Em termos simples, representa a multiplicação do elemento por ele mesmo vezes. Por exemplo:
E assim por diante. Essa definição é válida quando é um número inteiro positivo. Para números negativos, usamos o inverso do elemento, mas como a questão não especifica, vamos considerar e como positivos.
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade Associativa do grupo. A associatividade nos diz que a forma como agrupamos os elementos não muda o resultado da operação. Ou seja:
Aplicando isso à multiplicação de por , temos:
Como a operação é associativa, podemos simplesmente juntar todas as multiplicações:
Resposta
Portanto, mostramos que para todo a^m * a^n = a^m+n , vale: