Sejam triang<= A B C um triângulo e M N e P os pontos médios dos lados B C. C A, A B. respectivamente. Os segmentos A M, B N e C P sào chamados de medianas de triang<= A B C. Para a base B=(A B cdot A C), determine:
(1) As coordenadas do vetor B N em relação a base B.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos um triângulo ABC com as medianas AM, BN e CP, onde M, N e P são os pontos médios dos lados BC, CA e AB, respectivamente. A base que vamos usar é formada pelos vetores AB e AC. O que queremos descobrir é: quais são as coordenadas do vetor BN nessa base.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores em bases, pontos médios e como expressar um vetor em termos de uma base dada.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as coordenadas dos pontos A, B e C. Para facilitar os cálculos, vamos colocar o ponto A na origem do sistema de coordenadas. Assim:
  • A = (0, 0)
  • B = (AB) = (1, 0)
  • C = (AC) = (0, 1)
Aqui, estamos assumindo que AB tem comprimento 1 na direção do eixo x e AC tem comprimento 1 na direção do eixo y. Isso é apenas para simplificar os cálculos, já que estamos trabalhando com uma base.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas dos pontos médios M, N e P.
  • M é o ponto médio de BC. As coordenadas de B são (1, 0) e as de C são (0, 1). Então:
M = ( 1 + 02, 0 + 12 ) = ( 12, 12 )
  • N é o ponto médio de CA. As coordenadas de C são (0, 1) e as de A são (0, 0). Então:
N = ( 0 + 02, 1 + 02 ) = (0, 12)
  • P é o ponto médio de AB. As coordenadas de A são (0, 0) e as de B são (1, 0). Então:
P = ( 0 + 12, 0 + 02 ) = ( 12, 0 )

Passo 4

Agora que temos as coordenadas dos pontos médios, vamos focar no vetor BN. Para encontrar esse vetor, precisamos das coordenadas de B e N.
  • B = (1, 0)
  • N = (0, 12)
O vetor BN é dado por:
BN = N - B = ( 0 - 1, 12 - 0 ) = (-1, 12)

Passo 5

Agora, queremos expressar o vetor BN na base B = (AB, AC), que no nosso caso é:
AB = (1, 0) e AC = (0, 1)
Isso significa que queremos encontrar escalares a e b tais que:
BN = a cdot AB + b cdot AC
Substituindo os vetores:
(-1, 12) = a cdot (1, 0) + b cdot (0, 1) = (a, b)

Passo 6

Agora, igualando as componentes dos vetores:
a = -1 b = 12
Portanto, os escalares são a = -1 e b = 12.

Resposta

As coordenadas do vetor BN em relação à base B são ( -1 ,, dfrac12 ).

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