Defina concisamente o seguinte lugare geométrico e deduza a equação na forma canônica identificando seus elementos (focos, diretriz, centro, vértice,…).
a) Hipérbole.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício sobre geometria analítica, especificamente sobre a hipérbole. A gente precisa definir o que é uma hipérbole de forma clara e depois chegar na sua equação canônica. Também vamos identificar os elementos básicos dela, como focos, diretriz, centro e vértices.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma hipérbole. A hipérbole é um conjunto de pontos no plano onde a diferença das distâncias de cada ponto a dois pontos fixos chamados focos é constante. Imagine dois pontos fixos e todos os pontos que seguem essa regra formam uma hipérbole.
Passo 3
Agora, vamos derivar a equação canônica da hipérbole. Vamos considerar que a hipérbole está no plano cartesiano com centro na origem para simplificar.
Passo 4
Assumindo que a hipérbole está centrada na origem e abre horizontalmente, a equação canônica é dada por:
Aqui, é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo x, e está relacionado à distância do centro aos “limites” da hipérbole no eixo y.
Passo 5
Para encontrar os elementos da hipérbole:
Centro: O ponto central é .
Vértices: São e .
Focos: Estão localizados a uma distância do centro, onde . Então, os focos são e .
Diretriz: São linhas paralelas ao eixo y a uma distância do centro, ou seja, e .
Passo 6
Resumindo, a hipérbole possui:
Centro:
Vértices: e
Focos: e , onde
Diretrizes: e
Resposta
A hipérbole é o conjunto de pontos tais que a diferença das distâncias a dois focos fixos é constante. Sua equação canônica, centrada na origem e abrindo horizontalmente, é: