Defina concisamente o seguinte lugare geométrico e deduza a equação na forma canônica identificando seus elementos (focos, diretriz, centro, vértice,…).
a) Hipérbole.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício sobre geometria analítica, especificamente sobre a hipérbole. A gente precisa definir o que é uma hipérbole de forma clara e depois chegar na sua equação canônica. Também vamos identificar os elementos básicos dela, como focos, diretriz, centro e vértices.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma hipérbole. A hipérbole é um conjunto de pontos no plano onde a diferença das distâncias de cada ponto a dois pontos fixos chamados focos é constante. Imagine dois pontos fixos e todos os pontos que seguem essa regra formam uma hipérbole.

Passo 3

Agora, vamos derivar a equação canônica da hipérbole. Vamos considerar que a hipérbole está no plano cartesiano com centro na origem para simplificar.

Passo 4

Assumindo que a hipérbole está centrada na origem e abre horizontalmente, a equação canônica é dada por:
Aqui, é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo x, e está relacionado à distância do centro aos “limites” da hipérbole no eixo y.

Passo 5

Para encontrar os elementos da hipérbole:
  • Centro: O ponto central é .
  • Vértices: São e .
  • Focos: Estão localizados a uma distância do centro, onde . Então, os focos são e .
  • Diretriz: São linhas paralelas ao eixo y a uma distância do centro, ou seja, e .

Passo 6

Resumindo, a hipérbole possui:
  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e , onde
  • Diretrizes: e

Resposta

A hipérbole é o conjunto de pontos tais que a diferença das distâncias a dois focos fixos é constante. Sua equação canônica, centrada na origem e abrindo horizontalmente, é:
Os elementos da hipérbole são:
  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e , onde
  • Diretrizes: e

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