Suponha que U e são subespaços distintos de dimensão 4 de um espaço vetorial de dimensão 6. Encontre as dimensões possíveis de .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem dois subespaços, e , que são de dimensão 4 dentro de um espaço maior que tem dimensão 6. A questão quer que a gente descubra quais são as possíveis dimensões da interseção desses dois subespaços, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de alguns conceitos de álgebra linear:
  • Dimensão de um subespaço: número de vetores que formam uma base para o subespaço.
  • Interseção de subespaços: conjunto de vetores que pertencem a ambos os subespaços.
  • Fórmula da dimensão da soma de subespaços: .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a fórmula da dimensão da soma de subespaços:
Sabemos que e . Então:

Passo 3

Agora, precisamos lembrar que a soma de dois subespaços, , está contida no espaço . Isso significa que:
Substituindo a expressão que encontramos:

Passo 4

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar :
Subtraindo 8 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1 e invertendo a desigualdade:

Passo 5

Além disso, sabemos que a dimensão da interseção não pode ser maior que a dimensão de qualquer um dos subespaços. Como ambos têm dimensão 4:

Passo 6

Juntando as duas informações que obtivemos:

Resposta

As dimensões possíveis de são 2, 3 ou 4.

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