Suponha que U e
são subespaços distintos de dimensão 4 de um espaço vetorial
de dimensão 6. Encontre as dimensões possíveis de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem dois subespaços,
e
, que são de dimensão 4 dentro de um espaço maior
que tem dimensão 6. A questão quer que a gente descubra quais são as possíveis dimensões da interseção desses dois subespaços, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de alguns conceitos de álgebra linear:
- Dimensão de um subespaço: número de vetores que formam uma base para o subespaço.
- Interseção de subespaços: conjunto de vetores que pertencem a ambos os subespaços.
- Fórmula da dimensão da soma de subespaços:
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a fórmula da dimensão da soma de subespaços:
Sabemos que
e
. Então:
Passo 3
Agora, precisamos lembrar que a soma de dois subespaços,
, está contida no espaço
. Isso significa que:
Substituindo a expressão que encontramos:
Passo 4
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar
:
Subtraindo 8 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1 e invertendo a desigualdade:
Passo 5
Além disso, sabemos que a dimensão da interseção não pode ser maior que a dimensão de qualquer um dos subespaços. Como ambos têm dimensão 4:
Passo 6
Juntando as duas informações que obtivemos:
Resposta
As dimensões possíveis de
são 2, 3 ou 4.
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:
.