Suponha que U e W são subespaços distintos de dimensão 4 de um espaço vetorial V de dimensão 6. Encontre as dimensões possíveis de U cap W.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem dois subespaços, e , que são de dimensão 4 dentro de um espaço maior que tem dimensão 6. A questão quer que a gente descubra quais são as possíveis dimensões da interseção desses dois subespaços, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de alguns conceitos de álgebra linear:
  • Dimensão de um subespaço: número de vetores que formam uma base para o subespaço.
  • Interseção de subespaços: conjunto de vetores que pertencem a ambos os subespaços.
  • Fórmula da dimensão da soma de subespaços: .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a fórmula da dimensão da soma de subespaços:
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W)
Sabemos que dim(U + W) = 4 + 4 - dim(U cap W) = 8 - dim(U cap W) e . Então:

Passo 3

Agora, precisamos lembrar que a soma de dois subespaços, dim(U + W) <= dim(V) = 6 , está contida no espaço 8 - dim(U cap W) <= 6 . Isso significa que:
Substituindo a expressão que encontramos:

Passo 4

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar 8 - dim(U cap W) <= 6 :
- dim(U cap W) <= -2
Subtraindo 8 de ambos os lados:
dim(U cap W) >= 2
Multiplicando ambos os lados por -1 e invertendo a desigualdade:

Passo 5

Além disso, sabemos que a dimensão da interseção não pode ser maior que a dimensão de qualquer um dos subespaços. Como ambos têm dimensão 4:
dim(U cap W) <= 4

Passo 6

Juntando as duas informações que obtivemos:
2 <= dim(U cap W) <= 4

Resposta

As dimensões possíveis de são 2, 3 ou 4.

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