Mostre que toda matriz simétrica é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que toda matriz simétrica é diagonalizável. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente em matrizes simétricas e diagonalização. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica, o que significa diagonalizar uma matriz e quais propriedades nos ajudam nessa demonstração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . Para uma matriz , isso significa que os elementos fora da diagonal principal são iguais:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre diagonalização. Uma matriz é diagonalizável se podemos escrevê-la como , onde é uma matriz diagonal e é uma matriz cujas colunas são os vetores próprios de . Isso é possível se a matriz tiver um conjunto completo de vetores próprios linearmente independentes.

Passo 4

Para mostrar que é diagonalizável, precisamos encontrar dois valores próprios distintos ou confirmar que mesmo com valores próprios iguais, há um conjunto adequado de vetores próprios. Vamos calcular os valores próprios de resolvendo a equação característica:
Para nossa matriz :
Isso nos dá a equação quadrática:

Passo 5

A equação quadrática sempre tem duas soluções, que podem ser reais ou complexas. Como é simétrica, temos que é um número real, então o discriminante simplifica para , que é sempre não negativo. Portanto, os valores próprios são reais.

Passo 6

Com valores próprios reais, sabemos que para cada valor próprio existe pelo menos um vetor próprio real. No caso de matrizes simétricas, os vetores próprios correspondentes a valores próprios distintos são ortogonais, garantindo assim a existência de dois vetores próprios linearmente independentes.

Passo 7

Como encontramos dois vetores próprios linearmente independentes para nossa matriz , podemos formar a matriz com esses vetores como colunas. Logo, pode ser escrita como , confirmando que é diagonalizável.

Resposta

Portanto, toda matriz simétrica é diagonalizável, pois possui dois valores próprios reais e um conjunto completo de vetores próprios linearmente independentes.

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