Mostre que toda matriz simétrica 2 times 2 é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que toda matriz simétrica 2 times 2 é diagonalizável. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente em matrizes simétricas e diagonalização. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica, o que significa diagonalizar uma matriz e quais propriedades nos ajudam nessa demonstração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz A é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, A = A^T. Para uma matriz 2 times 2, isso significa que os elementos fora da diagonal principal são iguais:
A = a & b b & d

Passo 3

Agora, vamos falar sobre diagonalização. Uma matriz é diagonalizável se podemos escrevê-la como A = PDP^-1, onde D é uma matriz diagonal e P é uma matriz cujas colunas são os vetores próprios de A. Isso é possível se a matriz tiver um conjunto completo de vetores próprios linearmente independentes.

Passo 4

Para mostrar que A é diagonalizável, precisamos encontrar dois valores próprios distintos ou confirmar que mesmo com valores próprios iguais, há um conjunto adequado de vetores próprios. Vamos calcular os valores próprios de A resolvendo a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Para nossa matriz A:
det( a - lambda & b b & d - lambda ) = (a - lambda)(d - lambda) - b^2 = 0
Isso nos dá a equação quadrática:
lambda^2 - (a + d)lambda + (ad - b^2) = 0

Passo 5

A equação quadrática sempre tem duas soluções, que podem ser reais ou complexas. Como A é simétrica, temos que b^2 é um número real, então o discriminante (a + d)^2 - 4(ad - b^2) simplifica para (a - d)^2 + 4b^2, que é sempre não negativo. Portanto, os valores próprios lambda são reais.

Passo 6

Com valores próprios reais, sabemos que para cada valor próprio existe pelo menos um vetor próprio real. No caso de matrizes simétricas, os vetores próprios correspondentes a valores próprios distintos são ortogonais, garantindo assim a existência de dois vetores próprios linearmente independentes.

Passo 7

Como encontramos dois vetores próprios linearmente independentes para nossa matriz A, podemos formar a matriz P com esses vetores como colunas. Logo, A pode ser escrita como A = PDP^-1, confirmando que A é diagonalizável.

Resposta

Portanto, toda matriz simétrica 2 times 2 é diagonalizável, pois possui dois valores próprios reais e um conjunto completo de vetores próprios linearmente independentes.

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