Mostre que toda matriz simétrica
é diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que toda matriz simétrica
é diagonalizável. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente em matrizes simétricas e diagonalização. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica, o que significa diagonalizar uma matriz e quais propriedades nos ajudam nessa demonstração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
. Para uma matriz
, isso significa que os elementos fora da diagonal principal são iguais:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre diagonalização. Uma matriz é diagonalizável se podemos escrevê-la como
, onde
é uma matriz diagonal e
é uma matriz cujas colunas são os vetores próprios de
. Isso é possível se a matriz tiver um conjunto completo de vetores próprios linearmente independentes.
Passo 4
Para mostrar que
é diagonalizável, precisamos encontrar dois valores próprios distintos ou confirmar que mesmo com valores próprios iguais, há um conjunto adequado de vetores próprios. Vamos calcular os valores próprios de
resolvendo a equação característica:
Para nossa matriz
:
Isso nos dá a equação quadrática:
Passo 5
A equação quadrática sempre tem duas soluções, que podem ser reais ou complexas. Como
é simétrica, temos que
é um número real, então o discriminante
simplifica para
, que é sempre não negativo. Portanto, os valores próprios
são reais.
Passo 6
Com valores próprios reais, sabemos que para cada valor próprio existe pelo menos um vetor próprio real. No caso de matrizes simétricas, os vetores próprios correspondentes a valores próprios distintos são ortogonais, garantindo assim a existência de dois vetores próprios linearmente independentes.
Passo 7
Como encontramos dois vetores próprios linearmente independentes para nossa matriz
, podemos formar a matriz
com esses vetores como colunas. Logo,
pode ser escrita como
, confirmando que
é diagonalizável.
Resposta
Portanto, toda matriz simétrica
é diagonalizável, pois possui dois valores próprios reais e um conjunto completo de vetores próprios linearmente independentes.
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