Determine se a série é convergente ou divergente expressando
como uma soma telescópica (como no Exemplo 6). Se for convergente, encontre sua soma.
Passo 1
Ok, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente tem aqui é uma série infinita:
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou diverge. Para isso, vamos usar a ideia de soma telescópica, que ajuda a simplificar somas extensas cancelando termos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o termo geral da série,
, de uma forma que a gente possa ver melhor como os termos se comportam. Sabemos que:
Isso significa que cada termo da série é a diferença entre o logaritmo de
e o logaritmo de
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a soma parcial até um número
, chamada de
. Isso fica assim:
Expandindo essa soma, temos:
Passo 4
A beleza da soma telescópica está no fato de que muitos termos se cancelam. Observando a expressão acima, vemos que
cancela com
,
com
, e assim por diante. O que sobra é:
Como
, simplifica-se para:
Passo 5
Para determinar o comportamento da série infinita, precisamos ver o que acontece com
quando
tende ao infinito. Vamos calcular o limite:
Sabemos que
cresce sem limites conforme
aumenta, então:
Isso significa que a soma parcial vai para menos infinito à medida que
cresce.
Resposta
A série
diverge, pois a soma parcial tende a
.