Determine se a série é convergente ou divergente expressando sn como uma soma telescópica (como no Exemplo 6). Se for convergente, encontre sua soma. sumn=1^infty ln nn+1

Passo 1

Ok, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente tem aqui é uma série infinita: . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou diverge. Para isso, vamos usar a ideia de soma telescópica, que ajuda a simplificar somas extensas cancelando termos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o termo geral da série, ln nn+1 = ln n - ln (n+1) , de uma forma que a gente possa ver melhor como os termos se comportam. Sabemos que:
Isso significa que cada termo da série é a diferença entre o logaritmo de e o logaritmo de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a soma parcial até um número SN = sumn=1^N ( ln n - ln (n+1) ) , chamada de SN = (ln 1 - ln 2) + (ln 2 - ln 3) + (ln 3 - ln 4) + ldots + (ln N - ln (N+1)) . Isso fica assim:
Expandindo essa soma, temos:

Passo 4

A beleza da soma telescópica está no fato de que muitos termos se cancelam. Observando a expressão acima, vemos que SN = ln 1 - ln (N+1) cancela com SN = -ln (N+1) , com , e assim por diante. O que sobra é:
Como , simplifica-se para:

Passo 5

Para determinar o comportamento da série infinita, precisamos ver o que acontece com limN to infty SN = limN to infty -ln (N+1) quando limN to infty -ln (N+1) = -infty tende ao infinito. Vamos calcular o limite:
Sabemos que cresce sem limites conforme aumenta, então:
Isso significa que a soma parcial vai para menos infinito à medida que cresce.

Resposta

A série diverge, pois a soma parcial tende a .

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