(0,8) Defina o que é um conjuto de vetores linearmente independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para definirmos o que é um conjunto de vetores linearmente independentes. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de vetores e suas combinações. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Imagine que você tem alguns vetores, digamos c1v1 + c2v2 + dots + cnvn . Uma combinação linear desses vetores é qualquer vetor que você pode formar multiplicando cada vetor por um escalar (um número) e somando os resultados. Matematicamente, fica assim:
onde são escalares.

Passo 3

Agora, falando de independência linear. Um conjunto de vetores é dito linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero (o vetor que não tem direção nem magnitude) é aquela em que todos os escalares são zero. Em outras palavras, não dá pra escrever nenhum dos vetores como uma combinação dos outros.

Passo 4

Para deixar mais claro, se você tiver um conjunto de vetores c1v1 + c2v2 + dots + cnvn = 0 , eles são linearmente independentes se a equação
só tem a solução trivial .

Resposta

Um conjunto de vetores é linearmente independente se, e somente se, a única maneira de combinar esses vetores para obter o vetor zero é usando coeficientes todos iguais a zero. Ou seja, na combinação
c1v1 + c2v2 + dots + cnvn = 0,
os valores devem ser todos iguais a zero.

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