Defina o que é um conjuto de vetores linearmente independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para definirmos o que é um conjunto de vetores linearmente independentes. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de vetores e suas combinações. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de combinação linear e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Imagine que você tem alguns vetores, digamos
. Uma combinação linear desses vetores é qualquer vetor que você pode formar multiplicando cada vetor por um escalar (um número) e somando os resultados. Matematicamente, fica assim:
onde
são escalares.
Passo 3
Agora, falando de independência linear. Um conjunto de vetores é dito linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero (o vetor que não tem direção nem magnitude) é aquela em que todos os escalares são zero. Em outras palavras, não dá pra escrever nenhum dos vetores como uma combinação dos outros.
Passo 4
Para deixar mais claro, se você tiver um conjunto de vetores
, eles são linearmente independentes se a equação
só tem a solução trivial
.
Resposta
Um conjunto de vetores é linearmente independente se, e somente se, a única maneira de combinar esses vetores para obter o vetor zero é usando coeficientes todos iguais a zero. Ou seja, na combinação
os valores
devem ser todos iguais a zero.