Defina derivada direcional.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Ela quer que a gente defina a derivada direcional. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de derivadas e como elas se aplicam em várias direções no espaço. Vamos usar um pouco de cálculo diferencial para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é uma derivada. Em cálculo, a derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação dessa função naquele ponto. Basicamente, ela nos diz o quão rápido a função está mudando.
Passo 3
Agora, a derivada direcional é uma extensão desse conceito. Enquanto a derivada comum considera a taxa de variação em uma direção específica, a derivada direcional permite medir como uma função muda em qualquer direção no espaço.
Passo 4
Para encontrar a derivada direcional, precisamos de duas coisas:
- Um vetor que representa a direção na qual queremos medir a taxa de variação.
- O gradiente da função, que é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e cujas componentes são as derivadas parciais da função.
Passo 5
A fórmula para a derivada direcional
de uma função
no ponto
na direção do vetor unitário
é dada por:
Aqui,
é o gradiente de
no ponto
, e
representa o produto escalar entre vetores.
Passo 6
Essa fórmula basicamente está dizendo que a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente da função e o vetor direção. Isso nos dá a taxa de variação da função na direção especificada por
.
Resposta
A derivada direcional de uma função
no ponto
na direção do vetor unitário
é definida por
onde
é o gradiente de
em
e
é a direção escolhida.
Exercícios relacionados
A função diferenciável
é dada implicitamente pela equação
5. Expresse
e
em termos de
e
.
Defina vetor gradiente.
Utilize a regra da cadeia para calcular
sendo
e
Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
no ponto (1,1).