Defina derivada direcional.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Ela quer que a gente defina a derivada direcional. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de derivadas e como elas se aplicam em várias direções no espaço. Vamos usar um pouco de cálculo diferencial para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é uma derivada. Em cálculo, a derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação dessa função naquele ponto. Basicamente, ela nos diz o quão rápido a função está mudando.

Passo 3

Agora, a derivada direcional é uma extensão desse conceito. Enquanto a derivada comum considera a taxa de variação em uma direção específica, a derivada direcional permite medir como uma função muda em qualquer direção no espaço.

Passo 4

Para encontrar a derivada direcional, precisamos de duas coisas:
  1. Um vetor que representa a direção na qual queremos medir a taxa de variação.
  2. O gradiente da função, que é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e cujas componentes são as derivadas parciais da função.

Passo 5

A fórmula para a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor unitário é dada por:
Aqui, é o gradiente de no ponto , e representa o produto escalar entre vetores.

Passo 6

Essa fórmula basicamente está dizendo que a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente da função e o vetor direção. Isso nos dá a taxa de variação da função na direção especificada por .

Resposta

A derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor unitário é definida por
onde é o gradiente de em e é a direção escolhida.

Exercícios relacionados

A função diferenciável é dada implicitamente pela equação 5. Expresse e em termos de e .
Defina vetor gradiente.
Utilize a regra da cadeia para calcular sendo e
Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto (1,1).