Utilize a regra da cadeia para calcular
sendo
e
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui. A gente precisa calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A função dada é
, e temos que
e
. Isso tudo tá no campo de cálculo, mais especificamente usando a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a regra da cadeia. Quando temos uma função que depende de outras variáveis que, por sua vez, dependem de
, a derivada total de
em relação a
é dada por:
Ou seja, a derivada de
em relação a
é a soma das derivadas parciais de
em relação a cada variável multiplicadas pela derivada dessas variáveis em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, vamos achar
e
.
Como
:
Passo 4
Agora, precisamos das derivadas de
e
em relação a
:
Passo 5
Vamos substituir tudo na regra da cadeia:
Agora, substituímos
e
:
Passo 6
Simplificando as expressões:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Defina derivada direcional.
A função diferenciável
é dada implicitamente pela equação
5. Expresse
e
em termos de
e
.
Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
no ponto (1,1).
Utilize a regra da cadeia para calcular
sendo
sent e
cost