Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto (1,1). Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar as inclinações do plano tangente e da reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de para saber a coordenada z do ponto no gráfico.
Então, o ponto no gráfico é .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Usando a regra do quociente:

Passo 4

Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 5

Vamos avaliar e no ponto (1,1):
Para :
Para :

Passo 6

Com as derivadas parciais em mãos, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente é:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 7

Agora, para achar a reta normal ao gráfico no ponto , usamos o vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais:
A equação paramétrica da reta normal é:
Onde são as componentes do vetor normal e é o parâmetro.
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é:

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