A função diferenciável é dada implicitamente pela equação 5. Expresse e em termos de e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função diferenciável que está definida de forma implícita pela equação:
O conteúdo que vamos usar aqui é de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais e diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da diferenciação implícita para obter as derivadas e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com várias variáveis, como , a derivada parcial nos mostra como muda em relação a , mantendo constante. O mesmo vale para .
Como nossa função está definida de forma implícita, ou seja, está misturado com e na equação, precisamos usar a diferenciação implícita para encontrar essas derivadas.

Passo 3

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a , tratando como uma constante (já que estamos buscando ):
Simplificando cada termo:

  1. (usamos a regra do produto e lembramos que é constante)

  2. (já que é constante em relação a )

  3. (usamos a regra da cadeia)
E do outro lado:

Passo 4

Agora, juntando tudo:
Vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 5

Isolando :
Podemos simplificar o sinal negativo:

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para . Diferenciando a equação original em relação a , tratando como uma constante:
Simplificando cada termo:
E do outro lado:

Passo 7

Juntando tudo:
Agrupando os termos com :

Passo 8

Isolando :
Assim, a derivada parcial em relação a fica:

Resposta

As derivadas parciais de em relação a e são dadas por:
e

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Utilize a regra da cadeia para calcular sendo e