A função diferenciável
é dada implicitamente pela equação
5. Expresse
e
em termos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função diferenciável
que está definida de forma implícita pela equação:
O conteúdo que vamos usar aqui é de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais e diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da diferenciação implícita para obter as derivadas
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com várias variáveis, como
, a derivada parcial
nos mostra como
muda em relação a
, mantendo
constante. O mesmo vale para
.
Como nossa função está definida de forma implícita, ou seja,
está misturado com
e
na equação, precisamos usar a diferenciação implícita para encontrar essas derivadas.
Passo 3
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como uma constante (já que estamos buscando
):
Simplificando cada termo:
-
(usamos a regra do produto e lembramos queé constante) -
-
(já queé constante em relação a ) -
(usamos a regra da cadeia)
E do outro lado:
Passo 4
Agora, juntando tudo:
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 5
Isolando
:
Podemos simplificar o sinal negativo:
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para
. Diferenciando a equação original em relação a
, tratando
como uma constante:
Simplificando cada termo:
E do outro lado:
Passo 7
Juntando tudo:
Agrupando os termos com
:
Passo 8
Isolando
:
Assim, a derivada parcial em relação a
fica:
Resposta
As derivadas parciais de
em relação a
e
são dadas por:
e
Exercícios relacionados
Defina vetor gradiente.
Encontre
sendo
seny,
e
.
Defina derivada direcional.
Utilize a regra da cadeia para calcular
sendo
e