A função diferenciável z=z(x, y) é dada implicitamente pela equação x y z+x^3+y^3+z^3= 5. Expresse partial zpartial x e partial zpartial y em termos de x, y e z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função diferenciável x y z + x^3 + y^3 + z^3 = 5 que está definida de forma implícita pela equação:
O conteúdo que vamos usar aqui é de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais e diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da diferenciação implícita para obter as derivadas e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com várias variáveis, como , a derivada parcial nos mostra como muda em relação a , mantendo constante. O mesmo vale para .
Como nossa função está definida de forma implícita, ou seja, está misturado com e na equação, precisamos usar a diferenciação implícita para encontrar essas derivadas.

Passo 3

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a ddx(x y z) + ddx(x^3) + ddx(y^3) + ddx(z^3) = ddx(5) , tratando ddx(5) = 0 como uma constante (já que estamos buscando ):
Simplificando cada termo:

  1. (usamos a regra do produto e lembramos que é constante)

  2. (já que é constante em relação a )

  3. (usamos a regra da cadeia)
E do outro lado:

Passo 4

Agora, juntando tudo:
y z + x y partial zpartial x + 3x^2 + 0 + 3z^2 partial zpartial x = 0
Vamos agrupar os termos que contêm ( x y + 3 z^2 ) partial zpartial x = - (y z + 3x^2) :

Passo 5

Isolando partial zpartial x = - (y z + 3x^2) x y + 3 z^2 = - y z - 3x^2 x y + 3 z^2 :
partial zpartial x = - (y z + 3x^2) x y + 3 z^2
Podemos simplificar o sinal negativo:

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para ddy(x y z) + ddy(x^3) + ddy(y^3) + ddy(z^3) = ddy(5) . Diferenciando a equação original em relação a ddy(5) = 0 , tratando como uma constante:
Simplificando cada termo:
E do outro lado:

Passo 7

Juntando tudo:
x z + x y partial zpartial y + 0 + 3y^2 + 3z^2 partial zpartial y = 0
Agrupando os termos com ( x y + 3 z^2 ) partial zpartial y = - (x z + 3 y^2) :

Passo 8

Isolando partial zpartial y = - (x z + 3 y^2) x y + 3 z^2 = - x z - 3 y^2 x y + 3 z^2 :
partial zpartial y = - (x z + 3 y^2) x y + 3 z^2
Assim, a derivada parcial em relação a fica:

Resposta

As derivadas parciais de partial zpartial x = - y z - 3x^2 x y + 3 z^2 em relação a partial zpartial y = - x z - 3 y^2 x y + 3 z^2 e são dadas por:
e

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