Defina a derivada direcional para funções de 3 variáveis.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma pergunta pedindo para a gente definir a derivada direcional para funções de três variáveis. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender primeiro sobre derivadas parciais e o conceito de gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre derivadas parciais. Quando temos uma função de três variáveis, tipo
, a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis, digamos
, mostra como a função muda quando a gente varia apenas o
, mantendo
e
constantes. A derivada parcial em relação a
é representada por
.
Passo 3
Agora, o próximo passo é entender o gradiente da função. O gradiente é basicamente um vetor que reúne todas as derivadas parciais da função. Para a nossa função
, o gradiente é dado por:
Esse vetor aponta na direção de maior crescimento da função.
Passo 4
Com o gradiente em mãos, podemos definir a derivada direcional. A derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é o produto escalar entre o gradiente de
e o vetor
. Isso nos dá a taxa de variação da função na direção específica de
. A fórmula fica assim:
Resposta
A derivada direcional de uma função de três variáveis
na direção de um vetor unitário
é dada pelo produto escalar entre o gradiente de
e
:
Exercícios relacionados
Determine uma equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado.
,
Determine uma equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado.
Determine a derivada direcional de
no ponto dado na direção do vetor
dado: (não esqueça de observar se o vetor é unitário!)
.
Suponha que que a temperatura em um ponto
do espaço seja dada por
, onde
é a medida em graus Celsius e
e
em metros. Em que direção no ponto
a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?