Defina a derivada direcional para funções de 3 variáveis.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma pergunta pedindo para a gente definir a derivada direcional para funções de três variáveis. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender primeiro sobre derivadas parciais e o conceito de gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre derivadas parciais. Quando temos uma função de três variáveis, tipo , a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis, digamos , mostra como a função muda quando a gente varia apenas o , mantendo e constantes. A derivada parcial em relação a é representada por .

Passo 3

Agora, o próximo passo é entender o gradiente da função. O gradiente é basicamente um vetor que reúne todas as derivadas parciais da função. Para a nossa função , o gradiente é dado por:
Esse vetor aponta na direção de maior crescimento da função.

Passo 4

Com o gradiente em mãos, podemos definir a derivada direcional. A derivada direcional de na direção de um vetor unitário é o produto escalar entre o gradiente de e o vetor . Isso nos dá a taxa de variação da função na direção específica de . A fórmula fica assim:

Resposta

A derivada direcional de uma função de três variáveis na direção de um vetor unitário é dada pelo produto escalar entre o gradiente de e :

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,
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.
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