Determine a derivada direcional de
no ponto dado na direção do vetor
dado: (não esqueça de observar se o vetor é unitário!)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especialmente de derivadas direcionais e gradiente. Vamos precisar verificar se o vetor
é unitário e, se não for, normalizá-lo antes de usar na fórmula da derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função
em um ponto
na direção de um vetor
é a taxa de variação de
naquele ponto na direção de
. Para calcular isso, usamos o gradiente da função
e o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 6
Em seguida, precisamos verificar se o vetor
é unitário. Para isso, calculamos o comprimento (norma) de
:
Como
, não é um vetor unitário. Então, vamos normalizá-lo dividindo cada componente pela sua norma:
Passo 7
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Calculando o produto escalar:
Passo 8
Simplificando os termos:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é igual a
.