Determine a derivada direcional de no ponto dado na direção do vetor dado: (não esqueça de observar se o vetor é unitário!)
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especialmente de derivadas direcionais e gradiente. Vamos precisar verificar se o vetor é unitário e, se não for, normalizá-lo antes de usar na fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é a taxa de variação de naquele ponto na direção de . Para calcular isso, usamos o gradiente da função e o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 6

Em seguida, precisamos verificar se o vetor é unitário. Para isso, calculamos o comprimento (norma) de :
Como , não é um vetor unitário. Então, vamos normalizá-lo dividindo cada componente pela sua norma:

Passo 7

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Calculando o produto escalar:

Passo 8

Simplificando os termos:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é igual a .

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,
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