Determine a derivada direcional de
no ponto dado na direção do vetor
dado: (não esqueça de observar se o vetor é unitário!)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especialmente de derivadas direcionais e gradiente. Vamos precisar verificar se o vetor
é unitário e, se não for, normalizá-lo antes de usar na fórmula da derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função
em um ponto
na direção de um vetor
é a taxa de variação de
naquele ponto na direção de
. Para calcular isso, usamos o gradiente da função
e o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 6
Em seguida, precisamos verificar se o vetor
é unitário. Para isso, calculamos o comprimento (norma) de
:
Como
, não é um vetor unitário. Então, vamos normalizá-lo dividindo cada componente pela sua norma:
Passo 7
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Calculando o produto escalar:
Passo 8
Simplificando os termos:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é igual a
.
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Defina a derivada direcional para funções de 3 variáveis.
Determine uma equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado.
,
Suponha que que a temperatura em um ponto
do espaço seja dada por
, onde
é a medida em graus Celsius e
e
em metros. Em que direção no ponto
a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?
Se
, determine o gradiente de
e determine a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor