Suponha que que a temperatura em um ponto (x, y, z) do espaço seja dada por T(x, y, z) = 80 / (1 + x^2 + 2y^2 + 3z^2), onde T é a medida em graus Celsius e x, y e z em metros. Em que direção no ponto (1, 1, -2) a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve calcular em que direção a temperatura aumenta mais rapidamente em um ponto específico do espaço, além de descobrir qual é a taxa máxima desse aumento. Para isso, vamos utilizar o conceito de gradiente de uma função, que nos ajuda a entender como a função muda em diferentes direções. Precisaremos calcular as derivadas parciais da função temperatura em relação às variáveis , e , e depois usar essas derivadas para determinar a direção e a taxa de aumento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a , e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

O vetor gradiente de , denotado por , é formado pelas derivadas parciais que calculamos:
O vetor gradiente aponta na direção de maior aumento da função .

Passo 4

Vamos avaliar o vetor gradiente no ponto específico :
Calculando o denominador:
Então:

Passo 5

A direção de máximo aumento é na direção do vetor gradiente. Para obter uma direção unitaria, vamos dividir o gradiente pelo seu módulo (ou norma).
Primeiro, calculamos a norma do gradiente:
Então, a direção unitária é:

Passo 6

A taxa máxima de aumento é igual à norma do gradiente, que já calculamos:

Resposta

A temperatura aumenta mais rapidamente na direção do vetor unitário no ponto . A taxa máxima de aumento da temperatura nessa direção é aproximadamente graus Celsius por metro.

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