Suponha que que a temperatura em um ponto
do espaço seja dada por
, onde
é a medida em graus Celsius e
e
em metros. Em que direção no ponto
a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve calcular em que direção a temperatura aumenta mais rapidamente em um ponto específico do espaço, além de descobrir qual é a taxa máxima desse aumento. Para isso, vamos utilizar o conceito de gradiente de uma função, que nos ajuda a entender como a função muda em diferentes direções. Precisaremos calcular as derivadas parciais da função temperatura em relação às variáveis
,
e
, e depois usar essas derivadas para determinar a direção e a taxa de aumento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
,
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
O vetor gradiente de
, denotado por
, é formado pelas derivadas parciais que calculamos:
O vetor gradiente aponta na direção de maior aumento da função
.
Passo 4
Vamos avaliar o vetor gradiente no ponto específico
:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 5
A direção de máximo aumento é na direção do vetor gradiente. Para obter uma direção unitaria, vamos dividir o gradiente pelo seu módulo (ou norma).
Primeiro, calculamos a norma do gradiente:
Então, a direção unitária é:
Passo 6
A taxa máxima de aumento é igual à norma do gradiente, que já calculamos:
Resposta
A temperatura aumenta mais rapidamente na direção do vetor unitário
no ponto
. A taxa máxima de aumento da temperatura nessa direção é aproximadamente
graus Celsius por metro.
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional de
no ponto dado na direção do vetor
dado: (não esqueça de observar se o vetor é unitário!)
.
Defina a derivada direcional para funções de 3 variáveis.
Se
, determine o gradiente de
e determine a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
Determine a derivada direcional de
no ponto dado na direção do vetor
dado: (não esqueça de observar se o vetor é unitário!)
.