Defina a derivada . Discuta as duas maneiras de interpretar esse número.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para definirmos a derivada e discutir duas maneiras de interpretar esse número. Estamos falando de Cálculo, mais especificamente de derivadas, que são fundamentais para entender como funções se comportam. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de limite e como ele está relacionado com a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é a derivada . Matematicamente, a derivada de uma função no ponto é dada pelo limite:
Isso significa que estamos calculando a taxa de variação instantânea da função em .

Passo 3

A primeira maneira de interpretar é como a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto . Imagine que você tem o gráfico da função e quer saber como ele está “subindo” ou “descendo” exatamente em . A derivada nos dá essa inclinação, ou seja, o quão íngreme é a curva naquele ponto específico.

Passo 4

A segunda interpretação de é como a taxa de variação instantânea da função em relação à variável independente. Isso significa que, se representa alguma quantidade que está mudando com o tempo, nos diz quão rápido essa quantidade está mudando exatamente no momento . Por exemplo, se representa a posição de um carro em função do tempo, seria a velocidade do carro naquele instante.

Resposta

Então, a derivada pode ser vista tanto como a inclinação da reta tangente à curva de no ponto , quanto como a taxa de variação instantânea da função naquele ponto. Essas duas interpretações são fundamentais para aplicarmos derivadas em diversos contextos, desde a geometria até a física.

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