Defina a derivada
. Discuta as duas maneiras de interpretar esse número.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para definirmos a derivada
e discutir duas maneiras de interpretar esse número. Estamos falando de Cálculo, mais especificamente de derivadas, que são fundamentais para entender como funções se comportam. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de limite e como ele está relacionado com a derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é a derivada
. Matematicamente, a derivada de uma função
no ponto
é dada pelo limite:
Isso significa que estamos calculando a taxa de variação instantânea da função
em
.
Passo 3
A primeira maneira de interpretar
é como a inclinação da reta tangente à curva da função
no ponto
. Imagine que você tem o gráfico da função
e quer saber como ele está “subindo” ou “descendo” exatamente em
. A derivada nos dá essa inclinação, ou seja, o quão íngreme é a curva naquele ponto específico.
Passo 4
A segunda interpretação de
é como a taxa de variação instantânea da função
em relação à variável independente. Isso significa que, se
representa alguma quantidade que está mudando com o tempo,
nos diz quão rápido essa quantidade está mudando exatamente no momento
. Por exemplo, se
representa a posição de um carro em função do tempo,
seria a velocidade do carro naquele instante.
Resposta
Então, a derivada
pode ser vista tanto como a inclinação da reta tangente à curva de
no ponto
, quanto como a taxa de variação instantânea da função naquele ponto. Essas duas interpretações são fundamentais para aplicarmos derivadas em diversos contextos, desde a geometria até a física.