Defina a distância de um ponto
a um conjunto não-vazio
, como sendo:
Mostre que:
se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente mostrar que a distância de um ponto
até um conjunto
ser zero é equivalente a
estar na fechadura de
(representada por
). Aqui, estamos trabalhando com análise real ou topologia, e vamos precisar entender conceitos como distância mínima e fechadura de um conjunto. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a distância de um ponto
até um conjunto
. A definição dada é:
Isso quer dizer que
é o menor valor (infimum) das distâncias entre
e todos os pontos de
. Se essa distância for zero, estamos dizendo que não existe uma distância mínima positiva entre
e
; ou seja,
está “muito perto” de
.
Passo 3
Agora, precisamos entender o que é a fechadura de um conjunto
,
. A fechadura de
inclui todos os pontos de
mais todos os pontos de acumulação de
. Um ponto
está na fechadura de
se toda vizinhança de
contém pelo menos um ponto de
. Em termos mais simples,
está “aproximando-se” de
.
Passo 4
Vamos provar a equivalência
se, e somente se,
. Para isso, vamos dividir em duas partes:
- Se
, então . - Se
, então .
Passo 5
1. Suponha que
.
Isso significa que para qualquer
, existe algum ponto
tal que
. Isso quer dizer que podemos encontrar pontos de
arbitrariamente próximos a
. Logo,
está na fechadura de
, pois toda vizinhança de
contém pontos de
.
Passo 6
2. Suponha que
.
Como
está na fechadura de
, qualquer vizinhança de
contém pelo menos um ponto de
. Então, para todo
, existe um
tal que
. Isso implica que
, ou seja,
.
Resposta
Portanto, mostramos que
se, e somente se,
pertence à fechadura de
, isto é,
.
Exercícios relacionados
(CESGRANRIO) Se
, calcule o valor de
.
Mostre que
é denso em
se, e somente se,
.
Coloque em ordem crescente os números reais:
e
.
Se
é limitado superiormente, mostre que
é ponto aderente a
.