Defina a distância de um ponto a um conjunto não-vazio , como sendo:
Mostre que:
se, e somente se, .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente mostrar que a distância de um ponto até um conjunto ser zero é equivalente a estar na fechadura de (representada por ). Aqui, estamos trabalhando com análise real ou topologia, e vamos precisar entender conceitos como distância mínima e fechadura de um conjunto. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a distância de um ponto até um conjunto . A definição dada é:
Isso quer dizer que é o menor valor (infimum) das distâncias entre e todos os pontos de . Se essa distância for zero, estamos dizendo que não existe uma distância mínima positiva entre e ; ou seja, está “muito perto” de .

Passo 3

Agora, precisamos entender o que é a fechadura de um conjunto , . A fechadura de inclui todos os pontos de mais todos os pontos de acumulação de . Um ponto está na fechadura de se toda vizinhança de contém pelo menos um ponto de . Em termos mais simples, está “aproximando-se” de .

Passo 4

Vamos provar a equivalência se, e somente se, . Para isso, vamos dividir em duas partes:
  1. Se , então .
  2. Se , então .

Passo 5

1. Suponha que .
Isso significa que para qualquer , existe algum ponto tal que . Isso quer dizer que podemos encontrar pontos de arbitrariamente próximos a . Logo, está na fechadura de , pois toda vizinhança de contém pontos de .

Passo 6

2. Suponha que .
Como está na fechadura de , qualquer vizinhança de contém pelo menos um ponto de . Então, para todo , existe um tal que . Isso implica que , ou seja, .

Resposta

Portanto, mostramos que se, e somente se, pertence à fechadura de , isto é, .

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(CESGRANRIO) Se , calcule o valor de .
Mostre que é denso em se, e somente se, .
Coloque em ordem crescente os números reais: e .
Se é limitado superiormente, mostre que é ponto aderente a .