Mostre que X ⊆ R é denso em R se, e somente se, Int(R - X) = vazio.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que um conjunto é denso em se, e somente se, a interior de é vazia. Aqui, estamos trabalhando com topologia e conjuntos densos. Precisaremos entender o que significa um conjunto ser denso e o que é a interior de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser denso em . Um conjunto é denso em se todo ponto de é um ponto de acumulação de ou pertence a . Basicamente, isso significa que não há “buracos” em onde não está presente ou se aproxima infinitamente.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é . A função representa a interior de um conjunto, ou seja, os pontos que têm um entorno aberto completamente dentro do conjunto. Então, são todos os pontos de que estão “no meio” sem bordas.

Passo 4

Vamos começar provando a primeira direção: se é denso em , então .
Como é denso, entre quaisquer dois pontos de , sempre há um ponto de . Isso significa que não existe nenhum intervalo aberto totalmente contido em , pois sempre haveria um ponto de nesse intervalo. Portanto, a interior de é vazia.

Passo 5

Agora, vamos provar a outra direção: se , então é denso em .
Se a interior de é vazia, não há intervalos abertos onde não está presente. Ou seja, em qualquer intervalo aberto de , há pelo menos um ponto de . Isso implica que está “espalhado” por todo o , tornando-o denso.

Resposta

Portanto, mostramos que é denso em se, e somente se, .

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