Mostre que
é denso em
se, e somente se,
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que um conjunto
é denso em
se, e somente se, a interior de
é vazia. Aqui, estamos trabalhando com topologia e conjuntos densos. Precisaremos entender o que significa um conjunto ser denso e o que é a interior de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
ser denso em
. Um conjunto
é denso em
se todo ponto de
é um ponto de acumulação de
ou pertence a
. Basicamente, isso significa que não há “buracos” em
onde
não está presente ou se aproxima infinitamente.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é
. A função
representa a interior de um conjunto, ou seja, os pontos que têm um entorno aberto completamente dentro do conjunto. Então,
são todos os pontos de
que estão “no meio” sem bordas.
Passo 4
Vamos começar provando a primeira direção: se
é denso em
, então
.
Como
é denso, entre quaisquer dois pontos de
, sempre há um ponto de
. Isso significa que não existe nenhum intervalo aberto totalmente contido em
, pois sempre haveria um ponto de
nesse intervalo. Portanto, a interior de
é vazia.
Passo 5
Agora, vamos provar a outra direção: se
, então
é denso em
.
Se a interior de
é vazia, não há intervalos abertos onde
não está presente. Ou seja, em qualquer intervalo aberto de
, há pelo menos um ponto de
. Isso implica que
está “espalhado” por todo o
, tornando-o denso.
Resposta
Portanto, mostramos que
é denso em
se, e somente se,
.
Exercícios relacionados
Sabendo que sen
, com
, calcule:
Determine um
para
, tal que
Para cada funçào
sào dados
(CESGRANRIO) Se
, calcule o valor de
.
Defina a distância de um ponto
a um conjunto não-vazio
, como sendo:
Mostre que:
se, e somente se,
.