Se é limitado superiormente, mostre que é ponto aderente a .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto que é limitado superiormente, ou seja, existe um número real que é maior ou igual a todos os elementos de . O objetivo é mostrar que o supremo de , denotado por , é um ponto aderente a . Isso significa que, embora possa não pertencer a , ele está “próximo” de de tal forma que qualquer intervalo ao redor de contém elementos de . Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de supremo, conjunto limitado e pontos aderentes.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é o supremo de um conjunto. O supremo de , , é o menor número real que é maior ou igual a todos os elementos de . Como é limitado superiormente, sabemos que o supremo existe. Agora, para mostrar que é um ponto aderente a , precisamos provar que para qualquer , existe um elemento tal que .

Passo 3

Vamos considerar um qualquer. Queremos encontrar um elemento em que esteja dentro de e . Suponha, por contradição, que não existe tal . Isso significaria que todos os elementos de são menores ou iguais a . Mas isso iria contradizer a definição de como o menor limite superior, já que teríamos um limite superior menor, , o que não é possível.

Passo 4

Portanto, nossa suposição de que não existia tal está errada. Logo, para qualquer , deve existir pelo menos um satisfazendo . Isso significa que podemos sempre encontrar elementos de arbitrariamente próximos de , o que caracteriza como um ponto aderente a .

Resposta

Assim, mostramos que é um ponto aderente a .

Exercícios relacionados

Coloque em ordem crescente os números reais: e .
Defina a distância de um ponto a um conjunto não-vazio , como sendo:
Mostre que:
se, e somente se, .
Calcule o valor de seno, cosseno e tangente dos seguintes ângulos:
Mostre que, todo conjunto não-enumerável possui algum ponto de acumulação .