Se
é limitado superiormente, mostre que
é ponto aderente a
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
que é limitado superiormente, ou seja, existe um número real que é maior ou igual a todos os elementos de
. O objetivo é mostrar que o supremo de
, denotado por
, é um ponto aderente a
. Isso significa que, embora
possa não pertencer a
, ele está “próximo” de
de tal forma que qualquer intervalo ao redor de
contém elementos de
. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de supremo, conjunto limitado e pontos aderentes.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é o supremo de um conjunto. O supremo de
,
, é o menor número real que é maior ou igual a todos os elementos de
. Como
é limitado superiormente, sabemos que o supremo existe. Agora, para mostrar que
é um ponto aderente a
, precisamos provar que para qualquer
, existe um elemento
tal que
.
Passo 3
Vamos considerar um
qualquer. Queremos encontrar um elemento em
que esteja dentro de
e
. Suponha, por contradição, que não existe tal
. Isso significaria que todos os elementos de
são menores ou iguais a
. Mas isso iria contradizer a definição de
como o menor limite superior, já que teríamos um limite superior menor,
, o que não é possível.
Passo 4
Portanto, nossa suposição de que não existia tal
está errada. Logo, para qualquer
, deve existir pelo menos um
satisfazendo
. Isso significa que podemos sempre encontrar elementos de
arbitrariamente próximos de
, o que caracteriza
como um ponto aderente a
.
Resposta
Assim, mostramos que
é um ponto aderente a
.
Exercícios relacionados
Coloque em ordem crescente os números reais:
e
.
Defina a distância de um ponto
a um conjunto não-vazio
, como sendo:
Mostre que:
se, e somente se,
.
Calcule o valor de seno, cosseno e tangente dos seguintes ângulos:
Mostre que, todo conjunto não-enumerável
possui algum ponto de acumulação
.