Defina a distância de um ponto a in R a um conjunto não-vazio X ⊆ R, como sendo:
d(a, X) = inf{|x-a| ; x in X}
Mostre que:
Se F ⊆ R é fechado, então para todo a in R, existe b em F tal que d(a, F) = |b - a|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre definir a distância de um ponto para um conjunto não-vazio na reta real . A gente precisa mostrar que, se é fechado, então para todo , existe um ponto tal que a distância é igual a . Vamos precisar entender conceitos de distância, conjuntos fechados e propriedades dos números reais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a distância . Ela é definida como:
Isso quer dizer que é o menor valor possível de para todos os em .

Passo 3

Agora, como é um conjunto fechado na reta real, isso implica que ele contém todos os seus pontos de limite. Em outras palavras, se uma sequência de pontos em converge para algum ponto , então também pertence a .

Passo 4

Vamos considerar uma sequência de pontos em tal que se aproxima de . Como é completo, essa sequência tem uma subsequência que converge para algum ponto em .

Passo 5

Como é fechado e a subsequência converge para , pelo fato de ser fechado, também pertence a .

Passo 6

Finalmente, como se aproxima de , temos que:
Isso mostra que existe realmente um ponto tal que .

Resposta

Portanto, mostramos que se é fechado, para todo , existe um ponto tal que a distância é igual a .

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