Defina a distância de um ponto
a um conjunto não-vazio
, como sendo:
Mostre que:
Se
é fechado, então para todo
, existe
tal que
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre definir a distância de um ponto
para um conjunto não-vazio
na reta real
. A gente precisa mostrar que, se
é fechado, então para todo
, existe um ponto
tal que a distância
é igual a
. Vamos precisar entender conceitos de distância, conjuntos fechados e propriedades dos números reais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a distância
. Ela é definida como:
Isso quer dizer que
é o menor valor possível de
para todos os
em
.
Passo 3
Agora, como
é um conjunto fechado na reta real, isso implica que ele contém todos os seus pontos de limite. Em outras palavras, se uma sequência de pontos em
converge para algum ponto
, então
também pertence a
.
Passo 4
Vamos considerar uma sequência
de pontos em
tal que
se aproxima de
. Como
é completo, essa sequência tem uma subsequência que converge para algum ponto
em
.
Passo 5
Como
é fechado e a subsequência
converge para
, pelo fato de
ser fechado,
também pertence a
.
Passo 6
Finalmente, como
se aproxima de
, temos que:
Isso mostra que existe realmente um ponto
tal que
.
Resposta
Portanto, mostramos que se
é fechado, para todo
, existe um ponto
tal que a distância
é igual a
.
Exercícios relacionados
Mostre que, para cada
.
Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
Mostre que:
De quantas maneiras podemos posicionar 8 torres em um tabuleiro de xadrez sem que duas torres se ataquem?