Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a soma dos termos
é igual a
. Isso envolve conceitos de fatorial e somatório. Para resolver, vamos usar propriedades de fatoriais e técnicas de soma de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fatorial. Para qualquer número inteiro positivo
, o fatorial
é o produto de todos os inteiros de 1 até
. Por exemplo,
.
Passo 3
Agora, vamos observar o termo geral da soma:
. Podemos reescrever esse termo de uma maneira útil. Note que:
Isso porque:
Então, rearranjando:
Passo 4
Com essa reescrita, nossa soma original fica:
Passo 5
Agora, vamos somar todos esses termos. Observe que muitos termos se cancelam:
Isso simplifica para:
Já que todos os termos intermediários se cancelam.
Passo 6
Sabemos que
, então:
Resposta
Portanto,
.