Mostre que: 1 * 1! + 2 * 2! + 3 * 3! + ... + n * n! = (n + 1)! - 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a soma dos termos é igual a . Isso envolve conceitos de fatorial e somatório. Para resolver, vamos usar propriedades de fatoriais e técnicas de soma de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fatorial. Para qualquer número inteiro positivo , o fatorial é o produto de todos os inteiros de 1 até . Por exemplo, .

Passo 3

Agora, vamos observar o termo geral da soma: . Podemos reescrever esse termo de uma maneira útil. Note que:
Isso porque:
Então, rearranjando:

Passo 4

Com essa reescrita, nossa soma original fica:

Passo 5

Agora, vamos somar todos esses termos. Observe que muitos termos se cancelam:
Isso simplifica para:
Já que todos os termos intermediários se cancelam.

Passo 6

Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, .

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