Seja um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(d) e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, em um espaço euclidiano , a norma de qualquer vetor é sempre maior ou igual a zero, ou seja, para todo . Além disso, precisa mostrar que se e somente se . Vamos precisar entender o que é uma norma e as propriedades que ela deve satisfazer para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é uma norma. Em um espaço vetorial, a norma de um vetor , denotada por , é uma função que associa a cada vetor um número real não negativo. Essa função deve satisfazer três propriedades básicas:
Positividade: e se e somente se .
Homogeneidade: para todo escalar .
Desigualdade triangular: para todos os vetores .
Nosso foco aqui é na primeira propriedade, a positividade.
Passo 3
Vamos começar provando que para todo . Pela definição de norma, esse valor é sempre não negativo. Isso faz sentido porque a norma representa o “tamanho” ou “magnitude” do vetor, e tamanho não pode ser negativo. Portanto, .
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que se e somente se . Isso significa duas coisas:
Se , então necessariamente é o vetor nulo.
Se é o vetor nulo, então sua norma é zero.
Primeiro, suponha que . Pela propriedade de positividade da norma, isso só pode acontecer se for o vetor zero. Ou seja, .
Conversamente, se , então, pela definição da norma, sua magnitude é zero. Assim, .
Resposta
Portanto, provamos que em um espaço euclidiano , a norma de qualquer vetor satisfaz para todo e que se e somente se .