Seja V um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(d) |u| >= 0, forall u in V e |u|=0 Leftrightarrow u=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, em um espaço euclidiano , a norma de qualquer vetor é sempre maior ou igual a zero, ou seja, para todo . Além disso, precisa mostrar que se e somente se . Vamos precisar entender o que é uma norma e as propriedades que ela deve satisfazer para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma norma. Em um espaço vetorial, a norma de um vetor , denotada por , é uma função que associa a cada vetor um número real não negativo. Essa função deve satisfazer três propriedades básicas:
  1. Positividade: e se e somente se .
  2. Homogeneidade: para todo escalar .
  3. Desigualdade triangular: para todos os vetores .
Nosso foco aqui é na primeira propriedade, a positividade.

Passo 3

Vamos começar provando que para todo . Pela definição de norma, esse valor é sempre não negativo. Isso faz sentido porque a norma representa o “tamanho” ou “magnitude” do vetor, e tamanho não pode ser negativo. Portanto, .

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que se e somente se . Isso significa duas coisas:
  • Se , então necessariamente é o vetor nulo.
  • Se é o vetor nulo, então sua norma é zero.
Primeiro, suponha que . Pela propriedade de positividade da norma, isso só pode acontecer se for o vetor zero. Ou seja, .
Conversamente, se , então, pela definição da norma, sua magnitude é zero. Assim, .

Resposta

Portanto, provamos que em um espaço euclidiano , a norma de qualquer vetor satisfaz para todo e que se e somente se .

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