Seja
um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(d)
e
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, em um espaço euclidiano
, a norma de qualquer vetor
é sempre maior ou igual a zero, ou seja,
para todo
. Além disso, precisa mostrar que
se e somente se
. Vamos precisar entender o que é uma norma e as propriedades que ela deve satisfazer para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é uma norma. Em um espaço vetorial, a norma de um vetor
, denotada por
, é uma função que associa a cada vetor um número real não negativo. Essa função deve satisfazer três propriedades básicas:
- Positividade:
e se e somente se . - Homogeneidade:
para todo escalar . - Desigualdade triangular:
para todos os vetores .
Nosso foco aqui é na primeira propriedade, a positividade.
Passo 3
Vamos começar provando que
para todo
. Pela definição de norma, esse valor é sempre não negativo. Isso faz sentido porque a norma representa o “tamanho” ou “magnitude” do vetor, e tamanho não pode ser negativo. Portanto,
.
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que
se e somente se
. Isso significa duas coisas:
- Se
, então necessariamente é o vetor nulo. - Se
é o vetor nulo, então sua norma é zero.
Primeiro, suponha que
. Pela propriedade de positividade da norma, isso só pode acontecer se
for o vetor zero. Ou seja,
.
Conversamente, se
, então, pela definição da norma, sua magnitude é zero. Assim,
.
Resposta
Portanto, provamos que em um espaço euclidiano
, a norma de qualquer vetor
satisfaz
para todo
e que
se e somente se
.