Seja um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(d) e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, em um espaço euclidiano , a norma de qualquer vetor é sempre maior ou igual a zero, ou seja, para todo . Além disso, precisa mostrar que se e somente se . Vamos precisar entender o que é uma norma e as propriedades que ela deve satisfazer para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma norma. Em um espaço vetorial, a norma de um vetor , denotada por , é uma função que associa a cada vetor um número real não negativo. Essa função deve satisfazer três propriedades básicas:
  1. Positividade: e se e somente se .
  2. Homogeneidade: para todo escalar .
  3. Desigualdade triangular: para todos os vetores .
Nosso foco aqui é na primeira propriedade, a positividade.

Passo 3

Vamos começar provando que para todo . Pela definição de norma, esse valor é sempre não negativo. Isso faz sentido porque a norma representa o “tamanho” ou “magnitude” do vetor, e tamanho não pode ser negativo. Portanto, .

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que se e somente se . Isso significa duas coisas:
  • Se , então necessariamente é o vetor nulo.
  • Se é o vetor nulo, então sua norma é zero.
Primeiro, suponha que . Pela propriedade de positividade da norma, isso só pode acontecer se for o vetor zero. Ou seja, .
Conversamente, se , então, pela definição da norma, sua magnitude é zero. Assim, .

Resposta

Portanto, provamos que em um espaço euclidiano , a norma de qualquer vetor satisfaz para todo e que se e somente se .

Exercícios relacionados

Sejam , em que é um espaço vetorial euclidiano. Prove que
é
Resp.: Use as definições.
Defina Espaço Vetorial.
No espaço euclidiano , consideremos os vetores e . Determine e o co-seno do ângulo entre e . Resp.: , e
Sejam e . Quando possível, calcule:
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) .