A velocidade invariante. Um flash luminoso tem componentes de velocidade dadas por e no sistema de coordenadas de , isto é, . Utilizando a transformação de Lorentz de velocidade, calcule a velocidade da luz no sistema de referência que se desloca com velocidade relativamente a na direção dos eixos e . Os eixos e são paralelos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a velocidade da luz em diferentes sistemas de referência. A gente tem um flash de luz com componentes de velocidade e no sistema , e sabemos que (ou seja, a velocidade total é a da luz, ). A gente vai usar a Transformação de Lorentz de Velocidade para descobrir como essa velocidade se comporta em outro sistema de referência , que está se movendo com velocidade em relação a na direção do eixo . Vamos precisar entender como as velocidades se transformam entre esses sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformação de Lorentz para a componente da velocidade na direção do movimento, ou seja, no eixo . A fórmula para isso é:
Explicação: Essa fórmula ajusta a velocidade do flash no sistema para o sistema , levando em conta a velocidade relativa entre os sistemas. O denominador garante que a velocidade resultante não ultrapasse a velocidade da luz .

Passo 3

Agora, vamos olhar para as componentes nas direções e . Como os eixos e são paralelos e não há movimento entre eles, as transformações para e são um pouco mais simples:
Explicação: Aqui, é o fator de Lorentz, definido por:
Esse fator ajusta as componentes e levando em conta a dilatação do tempo e a contração do espaço devido à velocidade do sistema .

Passo 4

Vamos verificar se a velocidade total no sistema também é . Para isso, somamos os quadrados das componentes transformadas:
Depois de simplificar (o que envolve um pouco de álgebra), você verá que essa soma também resulta em . Isso confirma que a velocidade da luz permanece invariante, ou seja, igual a , em qualquer sistema de referência inercial.

Resposta

A velocidade da luz no sistema de referência continua sendo , mantendo as propriedades invariantes da velocidade da luz em todos os sistemas inerciais segundo a Transformação de Lorentz.

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