Se f^prime é contínua, f(2)=0 e f^prime(2)=-1, determine
lim x 0 f(2+3 x)+f(2+5 x)x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de quando se aproxima de 0. Estamos trabalhando com derivadas, já que nos fornecem que é contínua, e . Para resolver isso, vamos usar a ideia de aproximação linear, que envolve derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à função naquele ponto. Isso significa que, para f(2 + h) approx f(2) + f'(2) cdot h muito próximo de 2, podemos aproximar usando:

Passo 3

Aplicando isso aos termos f(2 + 3x) approx f(2) + f'(2) cdot 3x = 0 + (-1) cdot 3x = -3x e f(2 + 5x) approx f(2) + f'(2) cdot 5x = 0 + (-1) cdot 5x = -5x :

Passo 4

Agora, somamos essas aproximações no numerador da expressão original:
f(2 + 3x) + f(2 + 5x) approx -3x - 5x = -8x

Passo 5

Substituímos de volta na expressão do limite:
limx to 0 f(2+3x) + f(2+5x)x approx limx to 0 -8xx

Passo 6

Simplificando -8xx = -8 , temos:

Resposta

O limite é .

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