Seja
. Represente geometricamente
, sendo
-
-
-
-
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa representar geometricamente o gradiente
em quatro pontos específicos: (1,1), (-1,1), (-1,-1) e (1,-1). O conteúdo que vamos usar aqui é o de cálculo de gradiente e representação vetorial. Vamos precisar lembrar como calcular o gradiente e como desenhar vetores no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção do maior aumento da função e é calculado pelas derivadas parciais em relação a
e
. Matemáticamente, é dado por:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da nossa função
:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente em cada um dos quatro pontos fornecidos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora que temos os vetores gradiente em cada ponto, vamos representá-los geometricamente. Cada vetor será desenhado a partir do ponto dado, com as componentes
indicando a direção e o tamanho do vetor.
- Em
, o vetor vai para a direita 2 unidades e para baixo 2 unidades. - Em
, o vetor vai para a esquerda 2 unidades e para baixo 2 unidades. - Em
, o vetor vai para a esquerda 2 unidades e para cima 2 unidades. - Em
, o vetor vai para a direita 2 unidades e para cima 2 unidades.
Resposta
Os gradientes
nos pontos dados são:
- Em
: - Em
: - Em
: - Em
:
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sendo
(d)
(d)
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sendo
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(e)
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, com
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