Seja f(x, y) = x^2 - y^2. Represente geometricamente nabla f(x0, y0), sendo (x0, y0)
  • 1,1
  • (-1, 1)
  • (-1, -1)
  • (1, -1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa representar geometricamente o gradiente em quatro pontos específicos: (1,1), (-1,1), (-1,-1) e (1,-1). O conteúdo que vamos usar aqui é o de cálculo de gradiente e representação vetorial. Vamos precisar lembrar como calcular o gradiente e como desenhar vetores no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção do maior aumento da função e é calculado pelas derivadas parciais em relação a e . Matemáticamente, é dado por:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da nossa função :
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente em cada um dos quatro pontos fornecidos:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora que temos os vetores gradiente em cada ponto, vamos representá-los geometricamente. Cada vetor será desenhado a partir do ponto dado, com as componentes indicando a direção e o tamanho do vetor.
  1. Em , o vetor vai para a direita 2 unidades e para baixo 2 unidades.
  2. Em , o vetor vai para a esquerda 2 unidades e para baixo 2 unidades.
  3. Em , o vetor vai para a esquerda 2 unidades e para cima 2 unidades.
  4. Em , o vetor vai para a direita 2 unidades e para cima 2 unidades.

Resposta

Os gradientes nos pontos dados são:
  • Em :
  • Em :
  • Em :
  • Em :

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