Defina Grupo e Grupo Abeliano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma questão pedindo para definir o que é um grupo e um grupo abeliano. Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente da Teoria de Grupos. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições básicas e os requisitos que caracterizam um grupo e, posteriormente, o que torna um grupo abeliano.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é um grupo. Um grupo é uma estrutura matemática que consiste em um conjunto de elementos e uma operação binária que combina dois elementos do conjunto para formar outro elemento do mesmo conjunto. Para que esse conjunto com a operação seja considerado um grupo, ele precisa satisfazer quatro propriedades fundamentais:
- Fechamento: Se você pegar dois elementos quaisquer do grupo e aplicar a operação, o resultado também deve estar no grupo.
- Associatividade: A operação deve satisfazer a propriedade associativa, ou seja, para quaisquer elementos
no grupo, . - Elemento Neutro: Deve existir um elemento no grupo que, quando combinado com qualquer outro elemento usando a operação do grupo, não altera esse elemento. Esse elemento é chamado de neutro e geralmente denotamos por
, tal que para todo elemento , . - Elemento Inverso: Para cada elemento no grupo, deve existir outro elemento que, quando combinado com ele usando a operação do grupo, resulta no elemento neutro. Se
é um elemento do grupo, então existe um inverso tal que .
Passo 3
Agora, vamos definir o grupo abeliano. Um grupo abeliano é simplesmente um grupo que, além de satisfazer todas as propriedades que definem um grupo, também satisfaz a propriedade de comutatividade. Isso significa que a ordem em que você combina dois elementos não altera o resultado. Formalmente, para quaisquer elementos
e
no grupo abeliano,
.
Resposta
Grupo: Um grupo é uma estrutura matemática composta por um conjunto
e uma operação binária
que satisfaz as seguintes propriedades:
- Fechamento: Para todo
, . - Associatividade: Para todo
, . - Elemento Neutro: Existe um elemento
tal que, para todo , . - Elemento Inverso: Para todo
, existe um elemento tal que .
Grupo Abeliano: Um grupo abeliano é um grupo
que, além de satisfazer todas as propriedades de um grupo, também satisfaz a propriedade de comutatividade:
- Comutatividade: Para todo
, .
Exercícios relacionados
Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
d) , onde
: conjunto das partes de um conjunto
e
é a operação interseção entre conjuntos.
d)
Sejam
. Prove que:
Sejam
. Mostre que:
b)
b)
Determine o vetor unitário ortogonal simultaneamente aos vetores
e
.