Defina Grupo e Grupo Abeliano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma questão pedindo para definir o que é um grupo e um grupo abeliano. Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente da Teoria de Grupos. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições básicas e os requisitos que caracterizam um grupo e, posteriormente, o que torna um grupo abeliano.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é um grupo. Um grupo é uma estrutura matemática que consiste em um conjunto de elementos e uma operação binária que combina dois elementos do conjunto para formar outro elemento do mesmo conjunto. Para que esse conjunto com a operação seja considerado um grupo, ele precisa satisfazer quatro propriedades fundamentais:
  1. Fechamento: Se você pegar dois elementos quaisquer do grupo e aplicar a operação, o resultado também deve estar no grupo.
  2. Associatividade: A operação deve satisfazer a propriedade associativa, ou seja, para quaisquer elementos no grupo, .
  3. Elemento Neutro: Deve existir um elemento no grupo que, quando combinado com qualquer outro elemento usando a operação do grupo, não altera esse elemento. Esse elemento é chamado de neutro e geralmente denotamos por , tal que para todo elemento , .
  4. Elemento Inverso: Para cada elemento no grupo, deve existir outro elemento que, quando combinado com ele usando a operação do grupo, resulta no elemento neutro. Se é um elemento do grupo, então existe um inverso tal que .

Passo 3

Agora, vamos definir o grupo abeliano. Um grupo abeliano é simplesmente um grupo que, além de satisfazer todas as propriedades que definem um grupo, também satisfaz a propriedade de comutatividade. Isso significa que a ordem em que você combina dois elementos não altera o resultado. Formalmente, para quaisquer elementos e no grupo abeliano, .

Resposta

Grupo: Um grupo é uma estrutura matemática composta por um conjunto e uma operação binária que satisfaz as seguintes propriedades:
  1. Fechamento: Para todo , .
  2. Associatividade: Para todo , .
  3. Elemento Neutro: Existe um elemento tal que, para todo , .
  4. Elemento Inverso: Para todo , existe um elemento tal que .
Grupo Abeliano: Um grupo abeliano é um grupo que, além de satisfazer todas as propriedades de um grupo, também satisfaz a propriedade de comutatividade:
  • Comutatividade: Para todo , .

Exercícios relacionados

Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
d) (P(X), *), onde
P(X) : conjunto das partes de um conjunto X e (^*) é a operação interseção entre conjuntos.
Sejam a, x, y in(G, *). Prove que:
a * x=a * y Rightarrow x=y
Sejam a, b in(G, *). Mostre que:
b) (a^* b)^prime=b^prime * a^prime
Determine o vetor unitário ortogonal simultaneamente aos vetores u=(1,-6,3) e v=(4,0,1).