Sejam
. Prove que:
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente tem um grupo
e três elementos
,
e
desse grupo. A tarefa é provar que se
, então necessariamente
. Isso faz parte da teoria de grupos, especificamente usando a ideia de inversos e a lei de cancelamento. Vamos precisar lembrar que todo elemento em um grupo tem um inverso e que o grupo tem a propriedade associativa.
Passo 2
Primeiro, a gente sabe que
. Pra isolar
e
, a gente pode multiplicar ambos os lados dessa equação pelo inverso de
. No contexto de grupos, multiplicar por um inverso ajuda a “cancelar” o elemento
da equação.
Passo 3
Vamos multiplicar os dois lados da equação por
, que é o inverso de
:
Passo 4
Usando a propriedade associativa do grupo, a gente pode reescrever essa multiplicação:
Passo 5
Sabemos que
é o elemento identidade
do grupo, porque qualquer elemento multiplicado pelo seu inverso dá o identidade. Então:
Passo 6
Outra propriedade dos grupos é que o elemento identidade
multiplicado por qualquer elemento não muda esse elemento. Ou seja:
Resposta
Finalmente, mostramos que
, provando que se
em um grupo
, então necessariamente
.
Exercícios relacionados
Prove que o Elemento Identidade é único.
Seja
a seguinte permutação de
:
Calcule a ordem de
e a potência
.
Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
d) , onde
: conjunto das partes de um conjunto
e
é a operação interseção entre conjuntos.
d)
Defina Grupo e Grupo Abeliano.