Sejam a, x, y in(G, *). Prove que:
a * x=a * y Rightarrow x=y

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente tem um grupo (G, *) e três elementos a, x e y desse grupo. A tarefa é provar que se a * x = a * y, então necessariamente x = y. Isso faz parte da teoria de grupos, especificamente usando a ideia de inversos e a lei de cancelamento. Vamos precisar lembrar que todo elemento em um grupo tem um inverso e que o grupo tem a propriedade associativa.

Passo 2

Primeiro, a gente sabe que a * x = a * y. Pra isolar x e y, a gente pode multiplicar ambos os lados dessa equação pelo inverso de a. No contexto de grupos, multiplicar por um inverso ajuda a “cancelar” o elemento a da equação.

Passo 3

Vamos multiplicar os dois lados da equação por a^-1, que é o inverso de a:
a^-1 * (a * x) = a^-1 * (a * y)

Passo 4

Usando a propriedade associativa do grupo, a gente pode reescrever essa multiplicação:
(a^-1 * a) * x = (a^-1 * a) * y

Passo 5

Sabemos que a^-1 * a é o elemento identidade e do grupo, porque qualquer elemento multiplicado pelo seu inverso dá o identidade. Então:
e * x = e * y

Passo 6

Outra propriedade dos grupos é que o elemento identidade e multiplicado por qualquer elemento não muda esse elemento. Ou seja:
x = y

Resposta

Finalmente, mostramos que x = y, provando que se a * x = a * y em um grupo (G, *), então necessariamente x = y.

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