Determine o vetor unitário ortogonal simultaneamente aos vetores u=(1,-6,3) e v=(4,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um vetor unitário que seja ortogonal simultaneamente aos vetores e . Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial e a normalização de vetores. Vamos precisar calcular o produto vetorial de e para obter um vetor perpendicular aos dois e depois transformar esse vetor em unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial de a times b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1) e u times v = ((-6)(1) - 3(0), 3(4) - 1(1), 1(0) - (-6)(4)) = (-6 - 0, 12 - 1, 0 + 24) = (-6, 11, 24) . O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 3

Agora temos o vetor que é perpendicular a ambos e . Mas o problema pede um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, vamos normalizar .

Passo 4

A normalização de um vetor |w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2 é feita dividindo cada componente pelo módulo do vetor, que é dado por:
|w| = raiz(-6)^2 + 11^2 + 24^2 = raiz36 + 121 + 576 = raiz733
Calculando o módulo de :

Passo 5

Agora, dividimos cada componente de uw = ( -6raiz733, 11raiz733, 24raiz733 ) pelo seu módulo para obter o vetor unitário :

Resposta

O vetor unitário ortogonal simultaneamente aos vetores uw = ( -6raiz733, 11raiz733, 24raiz733 ) e é:

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