Sejam
. Mostre que:
b)
b)
Passo 1
Então, a gente tem um grupo
com dois elementos
e
dentro desse grupo. A gente precisa provar que o inverso do produto
é igual a
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de teoria de grupos, como a definição de inverso e as propriedades da operação de grupo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um inverso em um grupo. Para qualquer elemento
em
, existe um elemento
tal que:
onde
é o elemento neutro do grupo.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o inverso de
, ou seja,
. Pela definição de inverso, devemos ter:
Passo 4
Vamos supor que
e verificar se essa igualdade satisfaz a condição de inverso. Substituindo na equação:
Passo 5
Usando a associatividade da operação de grupo, podemos reescrever a expressão:
Porque
.
Passo 6
Simplificando, temos:
Já que
.
Passo 7
Como chegamos a
, isso confirma que
é realmente o inverso de
.
Resposta
Portanto, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Defina Grupo e Grupo Abeliano.
Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
d) , onde
: conjunto das partes de um conjunto
e
é a operação interseção entre conjuntos.
d)
Determine o vetor unitário ortogonal simultaneamente aos vetores
e
.
Os pontos A, B e C são colineares e o ponto
está situado a
da distância que vai de
a
. Determinar o ponto
. Resp.