Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
d) (P(X), *), onde
P(X) : conjunto das partes de um conjunto X e (^*) é a operação interseção entre conjuntos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto , que é o conjunto de todas as partes de um conjunto , junto com a operação de interseção ( ), forma um grupo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo na álgebra abstrata e quais são as propriedades que precisam ser satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto com uma operação binária que satisfaz quatro propriedades fundamentais:
  1. Fechamento: Para quaisquer em , o resultado também está em .
  2. Associatividade: Para quaisquer em , .
  3. Elemento identidade: Existe um elemento em tal que, para qualquer em , .
  4. Elemento inverso: Para cada em , existe um elemento em tal que , onde é o elemento identidade.

Passo 3

Agora, vamos analisar se (A * B) * C = (A cap B) cap C = A cap (B cap C) = A * (B * C) satisfaz essas propriedades:
  1. Fechamento: A operação é interseção ( A * E = A cap E = A ). Se A * B = A cap B = E = X e são subconjuntos de , então também é um subconjunto de . Logo, é fechado sob interseção.
  2. Associatividade: A interseção de conjuntos é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer , temos:
    Portanto, a operação é associativa.
  3. Elemento identidade: Precisamos encontrar um conjunto em tal que, para qualquer ,
    Isso só acontece se for o conjunto mesmo, porque .
  4. Elemento inverso: Para cada , precisamos encontrar um conjunto tal que:
    Mas isso só é possível se , o que só ocorre se . Ou seja, apenas o próprio conjunto possui um inverso (que é ele mesmo). Para quaisquer outros subconjuntos, não existe um inverso que satisfaça a condição.

Passo 4

Como vimos, com a operação de interseção satisfaz as três primeiras propriedades de um grupo (fechamento, associatividade e existência de um elemento identidade), mas não satisfaz a propriedade do elemento inverso para todos os seus elementos. Apenas o conjunto possui um inverso, mas outros subconjuntos não têm.

Resposta

não é um grupo, pois não todo elemento de possui um inverso em relação à operação de interseção.

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