Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
d)
, onde
: conjunto das partes de um conjunto
e
é a operação interseção entre conjuntos.
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto
, que é o conjunto de todas as partes de um conjunto
, junto com a operação de interseção (
), forma um grupo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo na álgebra abstrata e quais são as propriedades que precisam ser satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto
com uma operação binária
que satisfaz quatro propriedades fundamentais:
- Fechamento: Para quaisquer
em , o resultado também está em . - Associatividade: Para quaisquer
em , . - Elemento identidade: Existe um elemento
em tal que, para qualquer em , . - Elemento inverso: Para cada
em , existe um elemento em tal que , onde é o elemento identidade.
Passo 3
Agora, vamos analisar se
satisfaz essas propriedades:
-
Fechamento: A operação é interseção (
). Se e são subconjuntos de , então também é um subconjunto de . Logo, é fechado sob interseção. -
Associatividade: A interseção de conjuntos é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer
, temos: Portanto, a operação é associativa. -
Elemento identidade: Precisamos encontrar um conjunto
em tal que, para qualquer , Isso só acontece sefor o conjunto mesmo, porque . -
Elemento inverso: Para cada
, precisamos encontrar um conjunto tal que: Mas isso só é possível se, o que só ocorre se . Ou seja, apenas o próprio conjunto possui um inverso (que é ele mesmo). Para quaisquer outros subconjuntos, não existe um inverso que satisfaça a condição.
Passo 4
Como vimos,
com a operação de interseção satisfaz as três primeiras propriedades de um grupo (fechamento, associatividade e existência de um elemento identidade), mas não satisfaz a propriedade do elemento inverso para todos os seus elementos. Apenas o conjunto
possui um inverso, mas outros subconjuntos não têm.
Resposta
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Sejam
. Prove que:
Prove que o Elemento Identidade é único.
Defina Grupo e Grupo Abeliano.
Sejam
. Mostre que:
b)
b)