Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração, representando graficamente a região. Indique qual seria a melhor escolha e resolva esta integral:
integral0^1 integralarcsen(y)^pi / 2 cos (x) raiz1+cos ^2(x) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos que definir integrais iteradas em duas ordens diferentes para a integral dada, desenhar graficamente a região de integração, escolher a melhor ordem para resolver e, por fim, calcular o valor dessa integral. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e como interpretar a região de integração no plano XY.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
integral0^1 integralarcsin(y)^pi / 2 cos(x) raiz1 + cos^2(x) , dx , dy
Aqui, a integração interna é em relação a de até , e a externa é em relação a de 0 a 1.

Passo 3

Vamos representar graficamente a região de integração. No eixo , temos variando de 0 a 1. Para cada valor de , varia de até . Isso significa que a curva delimita a parte inferior da região, e é a linha superior.

Passo 4

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar y = sin(x) em termos de . Da equação , podemos isolar :
Então, para uma dada , varia de 0 a .

Passo 5

Com a ordem de integração invertida, a nova integral fica:
integral0^pi / 2 integral0^sin(x) cos(x) raiz1 + cos^2(x) , dy , dx

Passo 6

Vamos escolher a melhor ordem para resolver a integral. Observando a integral original, perceber que a função a ser integrada não depende de , o que facilita a integração se mantivermos a ordem original. Porém, ao inverter a ordem, temos uma integração mais simples em relação a . Vamos optar por inverter a ordem para facilitar os cálculos.

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral invertida:
integral0^pi / 2 integral0^sin(x) cos(x) raiz1 + cos^2(x) , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integral0^sin(x) cos(x) raiz1 + cos^2(x) , dy = cos(x) raiz1 + cos^2(x) cdot y g|0^sin(x) = cos(x) raiz1 + cos^2(x) cdot sin(x) :

Passo 8

Agora, sobra integrar em relação a integral0^pi / 2 cos(x) raiz1 + cos^2(x) cdot sin(x) , dx :
-12 du = cos(x)sin(x) , dx
Vamos fazer uma substituição:
Seja , então . Rearranjando,
Quando , . Quando , .

Passo 9

Substituindo na integral:
-12 integral2^1 raizu , du = 12 integral1^2 raizu , du
Integrando:
12 cdot ( 23 u^3/2 ) g|1^2 = 13 ( 2^3/2 - 1^3/2 ) = 13 ( 2raiz2 - 1 )

Resposta

O valor da integral é .

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