Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração, representando graficamente a região. Indique qual seria a melhor escolha e resolva esta integral:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos que definir integrais iteradas em duas ordens diferentes para a integral dada, desenhar graficamente a região de integração, escolher a melhor ordem para resolver e, por fim, calcular o valor dessa integral. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e como interpretar a região de integração no plano XY.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que temos:
Aqui, a integração interna é em relação a de até , e a externa é em relação a de 0 a 1.
Passo 3
Vamos representar graficamente a região de integração. No eixo , temos variando de 0 a 1. Para cada valor de , varia de até . Isso significa que a curva delimita a parte inferior da região, e é a linha superior.
Passo 4
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar em termos de . Da equação , podemos isolar :
Então, para uma dada , varia de 0 a .
Passo 5
Com a ordem de integração invertida, a nova integral fica:
Passo 6
Vamos escolher a melhor ordem para resolver a integral. Observando a integral original, perceber que a função a ser integrada não depende de , o que facilita a integração se mantivermos a ordem original. Porém, ao inverter a ordem, temos uma integração mais simples em relação a . Vamos optar por inverter a ordem para facilitar os cálculos.
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral invertida:
Primeiro, integramos em relação a :
Passo 8
Agora, sobra integrar em relação a integral0^pi / 2 cos(x) raiz1 + cos^2(x) cdot sin(x) , dx :
-12 du = cos(x)sin(x) , dx
Vamos fazer uma substituição:
Seja , então . Rearranjando,
Quando , . Quando , .
Passo 9
Substituindo na integral:
-12 integral2^1 raizu , du = 12 integral1^2 raizu , du