Utilize a mudança de variável adequada para calcular a integral
integral duplaD(x^2-y^2) sen((x+y)^2) d A, em que D é o paralelogramo limitado pelas retas y=x, y=x-pi2, y=-x e y=-x+pi2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A gente tem que calcular uma integral dupla sobre uma região que é um paralelogramo, limitada pelas retas , , e . A função que vamos integrar é . Para facilitar essa integral, vamos usar uma mudança de variável adequada. Vamos precisar entender como transformar as coordenadas e para novas variáveis que simplifiquem os limites de integração e a própria função a ser integrada.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma mudança de variável que torne a região de integração mais simples. Observando as retas que delimitam o paralelogramo, percebemos que elas são do tipo u = x + y e v = x - y . Isso sugere que podemos usar as seguintes substituições:
Essas substituições transformarão as retas dadas em limites mais fáceis de trabalhar.

Passo 3

Agora, precisamos expressar u = x + y e v = x - y em termos de u + v = 2x implies x = u + v2 e u - v = 2y implies y = u - v2 . Resolvendo o sistema de equações:
x = u + v2, y = u - v2
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante jacobiano dessa mudança de variável. O jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v é dado pela matriz das derivadas parciais:
partial xpartial u = 12, partial xpartial v = 12
Calculando as derivadas:
partial ypartial u = 12, partial ypartial v = -12
J = 12 & 12 12 & -12 = (12 times -12) - (12 times 12) = -14 - 14 = -12
Então,
O valor absoluto do jacobiano é .

Passo 5

Vamos reescrever a função que vamos integrar em termos de (x^2 - y^2) sen((x+y)^2) e ((u + v2)^2 - (u - v2)^2) sen(u^2) :
Substituindo ((u + v)^2 - (u - v)^24) sen(u^2) e ((u^2 + 2uv + v^2) - (u^2 - 2uv + v^2)4) sen(u^2) :
Calculando:

Passo 6

Agora, precisamos determinar os novos limites de integração na região y = x implies u = 2x implies u = v + u (com u = x + y, v = x - y) transformada pelas variáveis y = x - pi2 implies u = x + y = v + u - pi2 e y = -x implies u = 0 . As retas que delimitam y = -x + pi2 implies u = pi2 são:
Analisando essas equações, percebemos que varia de a e varia de a .

Passo 7

Agora, reescrevemos a integral original em termos de integral duplaD (x^2 - y^2) sen((x+y)^2) dA = integral duplaD' uv sen(u^2) cdot | J | dudv e 12 integral0^pi2 integral-pi2^pi2 uv sen(u^2) dv du :
Substituindo :

Passo 8

Primeiro, vamos integrar em relação a integral-pi2^pi2 uv sen(u^2) dv = u sen(u^2) integral-pi2^pi2 v dv :
Calculando a integral de integral-pi2^pi2 v dv = [ v^22 ]-pi2^pi2 = (pi2)^22 - (-pi2)^22 = 0 :

Passo 9

Como a integral em 12 integral0^pi2 0 cdot du = 0 resultou em zero, toda a integral dupla será zero:

Resposta

A integral dupla vale 0.

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