Utilize a mudança de variável adequada para calcular a integral , em que é o paralelogramo limitado pelas retas , e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A gente tem que calcular uma integral dupla sobre uma região que é um paralelogramo, limitada pelas retas , , e . A função que vamos integrar é . Para facilitar essa integral, vamos usar uma mudança de variável adequada. Vamos precisar entender como transformar as coordenadas e para novas variáveis que simplifiquem os limites de integração e a própria função a ser integrada.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma mudança de variável que torne a região de integração mais simples. Observando as retas que delimitam o paralelogramo, percebemos que elas são do tipo e . Isso sugere que podemos usar as seguintes substituições:
Essas substituições transformarão as retas dadas em limites mais fáceis de trabalhar.
Passo 3
Agora, precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante jacobiano dessa mudança de variável. O jacobiano é dado pela matriz das derivadas parciais:
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração na região y = x implies u = 2x implies u = v + u (com u = x + y, v = x - y) transformada pelas variáveis y = x - pi2 implies u = x + y = v + u - pi2 e y = -x implies u = 0 . As retas que delimitam y = -x + pi2 implies u = pi2 são:
Analisando essas equações, percebemos que varia de a e varia de a .
Passo 7
Agora, reescrevemos a integral original em termos de integral duplaD (x^2 - y^2) sen((x+y)^2) dA = integral duplaD' uv sen(u^2) cdot | J | dudv e 12 integral0^pi2 integral-pi2^pi2 uv sen(u^2) dv du :
Substituindo :
Passo 8
Primeiro, vamos integrar em relação a integral-pi2^pi2 uv sen(u^2) dv = u sen(u^2) integral-pi2^pi2 v dv :
Calculando a integral de integral-pi2^pi2 v dv = [ v^22 ]-pi2^pi2 = (pi2)^22 - (-pi2)^22 = 0 :
Passo 9
Como a integral em 12 integral0^pi2 0 cdot du = 0 resultou em zero, toda a integral dupla será zero: