Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de theta em coordenadas cartesianas.
r = 2 + sen(θ)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é para desenhar o gráfico de uma curva que está na forma polar, ou seja, usando coordenadas polares. A equação que temos é . Para fazer isso, vamos primeiro transformar essa equação para coordenadas cartesianas e depois esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que são coordenadas polares. Ao invés de usar e para indicar posições no plano, a coordenada polar usa (a distância do ponto até a origem) e (o ângulo em relação ao eixo positivo ). Isso é muito útil para desenhar curvas que têm simetria radial ou circular.

Passo 3

Para converter a equação polar para coordenadas cartesianas, usamos as seguintes fórmulas de conversão:
Essas fórmulas nos permitem passar de e para e , que são mais fáceis de plotar em um gráfico tradicional.

Passo 4

Vamos aplicar essas fórmulas na nossa equação . Primeiro, substituímos nas fórmulas de e :
Agora, precisamos simplificar essas expressões para obter uma forma mais fácil de graficar. Podemos usar identidades trigonométricas para ajudar nessa simplificação.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para :
E para :
Observamos que essas expressões envolvem termos de e , que podemos lidar separadamente para facilitar o plot.

Passo 6

Para esboçar o gráfico, podemos escolher diferentes valores de e calcular os correspondentes valores de , e . Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Fazendo isso para vários valores de , conseguimos plotar os pontos e desenhar a curva.

Resposta

Após converter a equação polar para coordenadas cartesianas e plotar diversos pontos, obtemos uma curva que representa um tipo de cardioide. O gráfico dessa curva mostra uma forma semelhante a um coração, simétrica em relação ao eixo , com um ponto mais estreito na esquerda e uma “bolsa” mais ampla na direita.

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