Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de
como função de
em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é para desenhar o gráfico de uma curva que está na forma polar, ou seja, usando coordenadas polares. A equação que temos é
. Para fazer isso, vamos primeiro transformar essa equação para coordenadas cartesianas e depois esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que são coordenadas polares. Ao invés de usar
e
para indicar posições no plano, a coordenada polar usa
(a distância do ponto até a origem) e
(o ângulo em relação ao eixo positivo
). Isso é muito útil para desenhar curvas que têm simetria radial ou circular.
Passo 3
Para converter a equação polar para coordenadas cartesianas, usamos as seguintes fórmulas de conversão:
Essas fórmulas nos permitem passar de
e
para
e
, que são mais fáceis de plotar em um gráfico tradicional.
Passo 4
Vamos aplicar essas fórmulas na nossa equação
. Primeiro, substituímos
nas fórmulas de
e
:
Agora, precisamos simplificar essas expressões para obter uma forma mais fácil de graficar. Podemos usar identidades trigonométricas para ajudar nessa simplificação.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão para
:
E para
:
Observamos que essas expressões envolvem termos de
e
, que podemos lidar separadamente para facilitar o plot.
Passo 6
Para esboçar o gráfico, podemos escolher diferentes valores de
e calcular os correspondentes valores de
,
e
. Por exemplo:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Fazendo isso para vários valores de
, conseguimos plotar os pontos e desenhar a curva.
Resposta
Após converter a equação polar
para coordenadas cartesianas e plotar diversos pontos, obtemos uma curva que representa um tipo de cardioide. O gráfico dessa curva mostra uma forma semelhante a um coração, simétrica em relação ao eixo
, com um ponto mais estreito na esquerda e uma “bolsa” mais ampla na direita.