Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente tem a equação com as condições iniciais e . A matéria que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa, depois ajustar as constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica substituindo por , por e por 1. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes:
Passo 4
Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar depois.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, tentamos uma solução particular na forma:
Onde , e são constantes a serem encontradas.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Resolvendo o primeiro, temos:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Passo 8
Com os valores de , e , a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 10
Agora, vamos aplicar as condições iniciais. Primeiro, :