Resolva os PVIs:
y'' + y' - 2y = t^2 + 3, y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente tem a equação com as condições iniciais e . A matéria que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa, depois ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica substituindo por , por e por 1. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar depois.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, tentamos uma solução particular na forma:
Onde , e são constantes a serem encontradas.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando os termos:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Resolvendo o primeiro, temos:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:

Passo 8

Com os valores de , e , a solução particular é:

Passo 9

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 10

Agora, vamos aplicar as condições iniciais. Primeiro, :
Então:
çã

Passo 11

Agora, calculamos a derivada :
Aplicando :
Então:
çã

Passo 12

Agora, resolvemos o sistema de equações 1 e 2:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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