Encontre uma solução explícita para o PVI abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para encontrar uma solução explícita para uma equação diferencial com a condição inicial
. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente lidando com equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar o tipo de equação que temos e aplicar os métodos apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada para deixar mais fácil de trabalhar:
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem que podemos tentar escrever na forma
.
Passo 3
Identificamos então:
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se satisfaz a condição:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Vemos que
, então a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 5
Vamos procurar um fator integrante que depende somente de
. Suponhamos que o fator seja
. Multiplicamos a equação inteira por
:
Queremos que essa nova equação seja exata, ou seja:
Passo 6
Após a multiplicação, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Igualando as duas expressões:
Observamos que para que essa igualdade seja válida para todos os
, o termo envolvendo
deve desaparecer. Isso nos leva a:
O que implica que
, ou seja,
é constante. Portanto, não encontramos um fator integrante aqui, indicando que precisamos tentar outro método.
Passo 7
Vamos tentar reescrever a equação diferencial na forma de uma equação linear. Dividimos todos os termos por
:
Isso simplifica para:
Notamos que ainda é complicado, então vamos tentar uma substituição. Vamos definir
, o que implica
.
Passo 8
Substituindo
na equação, temos:
Substituindo
novamente:
Essa substituição ainda não simplifica o suficiente, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 9
Vamos tentar a substituição
, escolhendo
de modo que a equação se torne separável. Após tentativas, descobrimos que
funciona.
Definindo
, então
e
.
Passo 10
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Expandindo os termos:
Passo 11
Agrupando os termos:
Fatorando
:
Simplificando mais:
Perceba que essa abordagem está complicando mais, então vamos optar por um método mais direto.
Passo 12
Vamos retornar à equação original e tentar separá-la:
Reescrevendo:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Definindo
, então
e
.
Substituindo novamente:
Passo 13
Isolando
:
Simplificando:
Isso ainda está complicado, então vamos revisar nossos passos anteriores para encontrar uma solução mais simples.
Passo 14
Vamos tentar resolver a equação original utilizando um fator integrante diferente. Observamos que a equação pode ser escrita como:
Podemos tentar separar as variáveis. Para isso, reescrevemos a equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Ainda assim, a separação não é direta. Portanto, concluímos que a equação exata não foi facilmente alcançada e outras técnicas mais avançadas seriam necessárias.
Resposta
Após várias tentativas de métodos de resolução, concluímos que a equação diferencial dada não possui uma solução explícita simples utilizando técnicas básicas de separação de variáveis ou equações exatas. Seria necessário aplicar métodos mais avançados ou verificar se há um fator integrante apropriado que torne a equação exata. Portanto, a solução explícita para o PVI fornecido não foi encontrada com os passos apresentados.