Sejam
vetores nâo-nulos do espaço vetorial
. Prove que
é múltiplo de u se, e somente se,
é múltiplo de v. Que se pode dizer caso nåo suponhamos u e
ambos diferentes de zero?
Passo 1
Então, a gente tem dois vetores
e
que não são zero no espaço vetorial
. A gente precisa provar que
é múltiplo de
se, e somente se,
é múltiplo de
. Além disso, vamos ver o que acontece se não assumirmos que ambos são diferentes de zero. Para resolver isso, vamos usar o conceito de múltiplos de vetores e propriedades dos espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que
é múltiplo de
. Isso quer dizer que existe um escalar
tal que:
Ou seja,
pode ser obtido multiplicando
por algum número
.
Passo 3
Agora, se
, queremos ver se isso implica que
também é múltiplo de
. Vamos resolver essa equação para
:
Aqui, assumimos que
porque
e
são vetores não-nulos. Então, existe um escalar
tal que
é múltiplo de
.
Passo 4
Da mesma forma, se
para algum escalar
, podemos resolver para
:
Novamente, como
e
não são zero,
, e isso mostra que
é múltiplo de
.
Passo 5
Então, mostramos que se
é múltiplo de
, então
é múltiplo de
, e vice-versa. Isso prova a afirmação “se, e somente se”.
Passo 6
Agora, vamos pensar no caso onde não assumimos que
e
são ambos diferentes de zero. Se um dos vetores for zero, digamos
, então
só pode ser múltiplo de
se
também, já que qualquer número multiplicado por zero é zero. O mesmo vale se
; então
também precisaria ser zero para serem múltiplos um do outro.
Resposta
Portanto, a prova mostra que
é múltiplo de
se, e somente se,
é múltiplo de
. Além disso, se não assumirmos que
e
são ambos diferentes de zero, então para que um seja múltiplo do outro, ambos devem ser o vetor zero.