Sejam vetores nâo-nulos do espaço vetorial . Prove que é múltiplo de u se, e somente se, é múltiplo de v. Que se pode dizer caso nåo suponhamos u e ambos diferentes de zero?

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores e que não são zero no espaço vetorial . A gente precisa provar que é múltiplo de se, e somente se, é múltiplo de . Além disso, vamos ver o que acontece se não assumirmos que ambos são diferentes de zero. Para resolver isso, vamos usar o conceito de múltiplos de vetores e propriedades dos espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que é múltiplo de . Isso quer dizer que existe um escalar tal que:
Ou seja, pode ser obtido multiplicando por algum número .

Passo 3

Agora, se , queremos ver se isso implica que também é múltiplo de . Vamos resolver essa equação para :
Aqui, assumimos que porque e são vetores não-nulos. Então, existe um escalar tal que é múltiplo de .

Passo 4

Da mesma forma, se para algum escalar , podemos resolver para :
Novamente, como e não são zero, , e isso mostra que é múltiplo de .

Passo 5

Então, mostramos que se é múltiplo de , então é múltiplo de , e vice-versa. Isso prova a afirmação “se, e somente se”.

Passo 6

Agora, vamos pensar no caso onde não assumimos que e são ambos diferentes de zero. Se um dos vetores for zero, digamos , então só pode ser múltiplo de se também, já que qualquer número multiplicado por zero é zero. O mesmo vale se ; então também precisaria ser zero para serem múltiplos um do outro.

Resposta

Portanto, a prova mostra que é múltiplo de se, e somente se, é múltiplo de . Além disso, se não assumirmos que e são ambos diferentes de zero, então para que um seja múltiplo do outro, ambos devem ser o vetor zero.

Exercícios relacionados

Aponte qual o item que expressa a derivada da função .
a)
b)
c)
d)
Defina a média entre dois vetores no espaço vetorial E pondo . Prove que se, e somente se, .
Verifique se o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial :
(f)
Se é uma transformação linear entre espaços vetoriais, o Núcleo de é definido como sendo o conjunto de todos os vetores em tal que . Para , de , o Núcleo de é representado, geometricamente, pela seguinte forma geométrica descrita pela respectiva equação:
a) reta,
b) plano,
c) reta, .
d) plano,