Defina a média de dois vetores
quaisquer num espaço vetorial
como
. Prove que
se e somente se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir a média de dois vetores
e
num espaço vetorial
como
. A gente precisa provar que
se e somente se
. Então, vamos usar conceitos de álgebra vetorial e propriedades das operações com vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Pela definição, isso é igual a:
Agora, vamos calcular
. Substituindo na definição:
Distribuindo o
:
Agora, vamos calcular
:
Distribuindo o
:
Passo 3
Agora, vamos igualar as duas expressões que obtivemos:
Vamos subtrair
dos dois lados:
Agora, vamos trazer todos os termos com
e
para um lado:
Simplificando os coeficientes:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A igualdade
ocorre se e somente se
.