Defina a média de dois vetores u, v quaisquer num espaço vetorial V como u boxplus v=12 u+12 v. Prove que (x boxplus y) boxplus z=x boxplus(y boxplus z) se e somente se x=z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir a média de dois vetores e num espaço vetorial como . A gente precisa provar que se e somente se . Então, vamos usar conceitos de álgebra vetorial e propriedades das operações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa x boxplus y = 12 x + 12 y . Pela definição, isso é igual a:
(x boxplus y) boxplus z = 12 (x boxplus y) + 12 z = 12 ( 12 x + 12 y ) + 12 z
Agora, vamos calcular = 14 x + 14 y + 12 z . Substituindo na definição:
x boxplus (y boxplus z) = 12 x + 12 (y boxplus z) = 12 x + 12 ( 12 y + 12 z )
Distribuindo o = 12 x + 14 y + 14 z :
Agora, vamos calcular :
Distribuindo o :

Passo 3

Agora, vamos igualar as duas expressões que obtivemos:
14 x + 14 y + 12 z = 12 x + 14 y + 14 z
Vamos subtrair 14 x + 12 z = 12 x + 14 z dos dois lados:
14 x - 12 x = 14 z - 12 z
Agora, vamos trazer todos os termos com -14 x = -14 z e x = z para um lado:
Simplificando os coeficientes:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A igualdade ocorre se e somente se .

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