São listados nos itens abaixo conjuntos
munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de
), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em
.
r.)
,
.
r.)
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar um conjunto
formado por funções do tipo
, onde
são números reais. A gente precisa verificar se as operações de soma e multiplicação por escalar estão bem definidas nesse conjunto e se todas as regras para ser um espaço vetorial estão cumpridas. Para isso, vamos precisar saber sobre operações em funções e os axiomas de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a soma de duas funções desse tipo também está em
. Seja
e
. A soma delas é:
Vemos que o resultado também é uma função quadrática, pois os coeficientes continuam sendo números reais. Então, a operação de soma está bem definida.
Passo 3
Agora, vamos verificar a multiplicação por um escalar. Seja
um número real e
. A multiplicação por escalar é:
Novamente, o resultado é uma função quadrática com coeficientes reais. Portanto, a multiplicação escalar também está bem definida em
.
Passo 4
Com as operações bem definidas, vamos checar os axiomas de um espaço vetorial. Lembrando que precisamos verificar:
- Associatividade da soma:
- Comutatividade da soma:
- Elemento neutro: Existe um
tal que - Elemento inverso: Para cada
, existe um tal que - Compatibilidade com o escalar:
- Distributividade em relação à soma de escalares:
- Distributividade em relação à soma de vetores:
Todas essas propriedades se mantêm para
, já que estamos trabalhando com funções quadráticas e operações lineares.
Resposta
O conjunto
das funções quadráticas com soma vetorial e multiplicação escalar definidas está bem definido e satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sobre os números reais. Portanto,
é um espaço vetorial real.