Sejam os vetores
e
em
. Encontre números reais nãonulos
satisfazendo
,
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos três vetores no plano
:
,
e
. A tarefa é encontrar números reais diferentes de zero
e
tal que:
Vamos precisar entender um pouco sobre combinação linear de vetores e dependência linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada:
Se subtrairmos o lado direito do esquerdo, teremos:
Isso significa que uma combinação linear não trivial (onde nem todos os coeficientes são zero) dos vetores
resulta no vetor nulo.
Passo 3
Como estamos trabalhando em
e temos três vetores, sabemos que eles são linearmente dependentes. Isso quer dizer que existe uma combinação dos vetores que resulta no vetor zero. Vamos encontrar essa relação.
Vamos assumir que:
Com as coordenadas:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Quando
, substituindo na expressão de
:
Então, uma solução geral é:
Onde
é um número real diferente de zero.
Passo 5
Agora que temos a relação
,
,
, podemos relacionar isso com os coeficientes
,
,
. Ou seja:
Podemos escolher um valor para
, por exemplo,
, para simplificar.
Passo 6
Com
, temos:
Agora, precisamos encontrar valores específicos para
e
que satisfaçam essas diferenças. Vamos escolher
, então:
Para
, vamos escolher
, então:
E para
, escolhemos
, então:
Resposta
Uma solução possível é:
Assim, temos
.