Sejam os vetores x=(1,1), y=(1,2) e z=(2,1) em R^2. Encontre números reais nãonulos a, b, c, a^prime, b^prime, c^prime satisfazendo a neq a^prime, b neq b^prime, c neq c^prime e a x+b y+c z=a^prime x+b^prime y+c^prime z.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos três vetores no plano a x + b y + c z = a' x + b' y + c' z : , e . A tarefa é encontrar números reais diferentes de zero e tal que:
Vamos precisar entender um pouco sobre combinação linear de vetores e dependência linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada:
a x + b y + c z = a' x + b' y + c' z
Se subtrairmos o lado direito do esquerdo, teremos:
(a - a') x + (b - b') y + (c - c') z = 0
Isso significa que uma combinação linear não trivial (onde nem todos os coeficientes são zero) dos vetores resulta no vetor nulo.

Passo 3

Como estamos trabalhando em k x + l y + m z = 0 e temos três vetores, sabemos que eles são linearmente dependentes. Isso quer dizer que existe uma combinação dos vetores que resulta no vetor zero. Vamos encontrar essa relação.
Vamos assumir que:
k(1,1) + l(1,2) + m(2,1) = (0,0)
Com as coordenadas:
k + l + 2m = 0 k + 2l + m = 0
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
k = -l - 2m
Substituindo na segunda equação:
(-l - 2m) + 2l + m = 0 -l - 2m + 2l + m = 0 l - m = 0 l = m
Quando k = -l - 2l = -3l , substituindo na expressão de k = -3t, l = t, m = t :
Então, uma solução geral é:
Onde é um número real diferente de zero.

Passo 5

Agora que temos a relação a - a' = -3t b - b' = t c - c' = t , , , podemos relacionar isso com os coeficientes , , . Ou seja:
Podemos escolher um valor para , por exemplo, , para simplificar.

Passo 6

Com a - a' = -3 b - b' = 1 c - c' = 1 , temos:
a = a' - 3 = 1 - 3 = -2
Agora, precisamos encontrar valores específicos para b = b' + 1 = 1 + 1 = 2 e c = c' + 1 = 1 + 1 = 2 que satisfaçam essas diferenças. Vamos escolher , então:
Para , vamos escolher , então:
E para , escolhemos , então:

Resposta

Uma solução possível é:
a = -2, b = 2, c = 2
a' = 1, b' = 1, c' = 1
Assim, temos .

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