São listados nos itens abaixo conjuntos
munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de
), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em
.
e.)
com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar em
;
e.)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto
, que basicamente é a linha do eixo
no plano. A pergunta quer saber se, com as operações normais de soma vetorial e multiplicação por escalar que a gente usa em
, esse conjunto
forma um espaço vetorial. Para isso, precisamos verificar se
é fechado sob essas operações e se todos os axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a soma de dois vetores em
também está em
. Seja
e
dois vetores em
. A soma deles é:
Como a segunda componente é sempre
,
também está em
. Então,
é fechado sob a soma vetorial.
Passo 3
Agora, vamos ver a multiplicação escalar. Seja
um escalar real e
em
. A multiplicação de
por
é:
A segunda componente permanece
, então
está em
. Assim,
também é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 4
Além de estar fechado sob soma e multiplicação escalar, precisamos verificar se todos os axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos. Como
é um subconjunto de
com as operações usuais, e
já é um espaço vetorial, os axiomas herdados por
também serão satisfeitos. Isso inclui associatividade, existência de elemento neutro, existência de inversos, distributividade, etc.
Resposta
Então, o conjunto
com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar está bem definido e satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Portanto,
é um espaço vetorial.