São listados nos itens abaixo conjuntos V munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de V ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em V.
e.) V=(x, 0) in R^2 mid x in R com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar em R^2;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto , que basicamente é a linha do eixo no plano. A pergunta quer saber se, com as operações normais de soma vetorial e multiplicação por escalar que a gente usa em , esse conjunto forma um espaço vetorial. Para isso, precisamos verificar se é fechado sob essas operações e se todos os axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a soma de dois vetores em u + v = (x1 + x2, 0 + 0) = (x1 + x2, 0) também está em . Seja e dois vetores em . A soma deles é:
Como a segunda componente é sempre , também está em . Então, é fechado sob a soma vetorial.

Passo 3

Agora, vamos ver a multiplicação escalar. Seja c cdot v = (c cdot x, c cdot 0) = (c x, 0) um escalar real e em . A multiplicação de por é:
A segunda componente permanece , então está em . Assim, também é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 4

Além de estar fechado sob soma e multiplicação escalar, precisamos verificar se todos os axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos. Como é um subconjunto de com as operações usuais, e já é um espaço vetorial, os axiomas herdados por também serão satisfeitos. Isso inclui associatividade, existência de elemento neutro, existência de inversos, distributividade, etc.

Resposta

Então, o conjunto com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar está bem definido e satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Portanto, é um espaço vetorial.

Exercícios relacionados