Defina o módulo ( |z|) e o argumento ( theta) de um número complexo z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para definir o módulo ( |z|) e o argumento ( theta) de um número complexo z. Isso está dentro do conteúdo de números complexos, uma parte importante da matemática que combina números reais e imaginários. Para resolver isso, vamos precisar entender como representamos um número complexo e como calculamos essas duas características: o módulo e o argumento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo z pode ser escrito na forma z = a + ib, onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Aqui, i é a unidade imaginária, que satisfaz i^2 = -1.

Passo 3

Agora, o módulo de z, representado por |z|, é basicamente a distância desse número complexo até a origem no plano complexo (ou plano de Argand). Para calcular isso, usamos o teorema de Pitágoras. A fórmula para o módulo é:
|z| = raiza^2 + b^2
Isso significa que você soma o quadrado da parte real com o quadrado da parte imaginária e depois tira a raiz quadrada desse resultado.

Passo 4

O argumento de z, denotado por theta, é o ângulo que o segmento que liga a origem ao ponto z faz com o eixo real positivo. Para encontrar esse ângulo, usamos a função tangente inversa. A fórmula para o argumento é:
theta = tan^-1(ba)
É importante considerar em qual quadrante o número complexo está para determinar o ângulo correto.

Resposta

O módulo de um número complexo z = a + ib é dado por |z| = raiza^2 + b^2, e o argumento é o ângulo theta = tan^-1(ba) que o número complexo forma com o eixo real positivo no plano complexo.

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