Justifique por que, em um oscilador amortecido e forçado, apenas as oscilações forçadas persistem para t gg Td.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente justifique por que, em um oscilador amortecido e forçado, só as oscilações forçadas continuam existindo quando o tempo t é muito maior que o tempo de amortecimento Td. Vamos precisar entender como funcionam os osciladores com amortecimento e força externa para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um oscilador amortecido e forçado. Imagine um pêndulo que está oscilando num fluido viscoso, como molas em um carro. O amortecimento ( gamma) representa a resistência que o meio oferece ao movimento, fazendo com que as oscilações diminuam com o tempo. Já o forçado se refere a uma força externa contínua que está empurrando o oscilador para manter as oscilações.

Passo 3

Para modelar isso matematicamente, usamos a equação diferencial do oscilador forçado com amortecimento:
md^2xdt^2 + bdxdt + kx = F0 cos(omega t)
Aqui, m é a massa, b é o coeficiente de amortecimento, k é a constante da mola, F0 é a amplitude da força externa, e omega é a frequência dessa força.

Passo 4

A solução dessa equação é a soma de duas partes: a solução homogênea (solução natural) e a solução particular (devido à força externa). Assim:
x(t) = xhomogênea(t) + xparticular(t) ê
A parte homogênea decai exponencialmente por causa do amortecimento, enquanto a parte particular mantém uma oscilação na mesma frequência da força externa.

Passo 5

O tempo de amortecimento Td é o tempo que leva para as oscilações naturais (homogêneas) desaparecerem significativamente. Matematicamente, isso está relacionado ao termo exponencial e^-gamma t presente na solução homogênea. Quando t gg Td, esse termo se aproxima de zero, ou seja, as oscilações naturais somem.

Passo 6

Portanto, após um tempo muito maior que Td, a única coisa que permanece é a solução particular, que é a oscilação forçada. É por isso que, em um oscilador amortecido e forçado, apenas as oscilações forçadas persistem quando t é muito maior que Td.

Resposta

Em um oscilador amortecido e forçado, as oscilações naturais decaem com o tempo devido ao amortecimento, e apenas as oscilações forçadas, mantidas pela força externa, permanecem quando t gg Td.

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