Justifique por que, em um oscilador amortecido e forçado, apenas as oscilações forçadas persistem para
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente justifique por que, em um oscilador amortecido e forçado, só as oscilações forçadas continuam existindo quando o tempo
é muito maior que o tempo de amortecimento
. Vamos precisar entender como funcionam os osciladores com amortecimento e força externa para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um oscilador amortecido e forçado. Imagine um pêndulo que está oscilando num fluido viscoso, como molas em um carro. O amortecimento (
) representa a resistência que o meio oferece ao movimento, fazendo com que as oscilações diminuam com o tempo. Já o forçado se refere a uma força externa contínua que está empurrando o oscilador para manter as oscilações.
Passo 3
Para modelar isso matematicamente, usamos a equação diferencial do oscilador forçado com amortecimento:
Aqui,
é a massa,
é o coeficiente de amortecimento,
é a constante da mola,
é a amplitude da força externa, e
é a frequência dessa força.
Passo 4
A solução dessa equação é a soma de duas partes: a solução homogênea (solução natural) e a solução particular (devido à força externa). Assim:
A parte homogênea decai exponencialmente por causa do amortecimento, enquanto a parte particular mantém uma oscilação na mesma frequência da força externa.
Passo 5
O tempo de amortecimento
é o tempo que leva para as oscilações naturais (homogêneas) desaparecerem significativamente. Matematicamente, isso está relacionado ao termo exponencial
presente na solução homogênea. Quando
, esse termo se aproxima de zero, ou seja, as oscilações naturais somem.
Passo 6
Portanto, após um tempo muito maior que
, a única coisa que permanece é a solução particular, que é a oscilação forçada. É por isso que, em um oscilador amortecido e forçado, apenas as oscilações forçadas persistem quando
é muito maior que
.
Resposta
Em um oscilador amortecido e forçado, as oscilações naturais decaem com o tempo devido ao amortecimento, e apenas as oscilações forçadas, mantidas pela força externa, permanecem quando
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