Defina multiplicação de números naturais e mostre que: fixados m, n in N, então m cdot(n+p)=m n+m p para todo p in N

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Aqui, queremos trabalhar com multiplicação de números naturais, que são os números inteiros positivos (como 1, 2, 3, etc.). O objetivo é mostrar que se tivermos três números naturais , e , então . Para resolver isso, vamos precisar entender como a multiplicação funciona e utilizar a propriedade distributiva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é multiplicação de dois números naturais. Multiplicar 3 cdot 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 por m cdot n = underbracem + m + dots + mn vezes significa somar o número consigo mesmo vezes. Por exemplo:
Então, em geral:

Passo 3

Agora, vamos analisar o lado esquerdo da equação que queremos provar: m cdot (n + p) = underbracem + m + dots + mn + p vezes . Segundo a definição de multiplicação, isso significa somar consigo mesmo vezes:

Passo 4

Por outro lado, vamos ver o lado direito da equação: m cdot n = underbracem + m + dots + mn vezes . Aplicando a definição de multiplicação em cada termo:
m cdot p = underbracem + m + dots + mp vezes
m cdot n + m cdot p = underbracem + m + dots + mn vezes + underbracem + m + dots + mp vezes = underbracem + m + dots + mn + p vezes
Somando esses dois resultados:

Passo 5

Observamos que tanto quanto resultam em somar consigo mesmo vezes. Portanto, as duas expressões são iguais.

Resposta

Assim, demonstramos que para quaisquer números naturais m cdot (n + p) = m cdot n + m cdot p , e , vale que:

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