Mostre que se alpha, beta in Z e alpha cdot beta=0, então alpha=0 ou beta=0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que diz: “Se alpha e beta são inteiros e alpha cdot beta = 0, então alpha = 0 ou beta = 0.” Aqui, estamos lidando com números inteiros e multiplicação. Para provar isso, vamos usar conceitos básicos da álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto de dois números é zero somente se pelo menos um dos números for zero. Isso é uma propriedade fundamental dos números inteiros.

Passo 3

Então, assumimos que alpha cdot beta = 0. Segundo a propriedade mencionada, isso pode acontecer de duas maneiras:
  1. alpha = 0
  2. beta = 0

Passo 4

Se alpha = 0, então a afirmativa alpha = 0 ou beta = 0 é verdadeira.
Da mesma forma, se beta = 0, então também a afirmativa é verdadeira.

Passo 5

Como mostramos que se o produto de alpha e beta é zero, pelo menos um deles deve ser zero, concluímos que alpha = 0 ou beta = 0.

Resposta

Portanto, se alpha cdot beta = 0 para inteiros alpha e beta, então necessariamente alpha = 0 ou beta = 0.

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